"Hyvin osasin kyllä alkaa / kunpa osaisin joskus lopettaa."
(Kotiteollisuus, "plus miinus nolla")
En yleisesti käsittele paljoa matematiikkaa. Tässä tapauksessa minun täytyy käsitellä itselleni ajankohtaista aihetta, eli "tyhjää". Nolla on tärkeä numero. (Joka on toisille täydempi ja henkilökohtaisempi kuin toisille taas ei.)
Varhaisimmat numeeriset systeemiet eivät tunteneet nollan käsitettä. Ne olivat pääasiassa kokonaislukuja ja mittasivat määriä. Esimerkiksi Aristoteles harjoitti itselleen tyypillistä päättelyä ja esitti syyn sille miksi nollaa ei käytetty lukusysteemeissä. Hän esitti että nolla ja ääretön ovat molemmat ilmiöitä jotka ovat enemmän ideoita kuin numeroita. Eli ne eivät olleet lukuja samaan tapaan kuin vaikkapa numero 1 tai 2. Hänestä oli merkittävää että ei voinut olla 0:aa jostakin; Silloin ei ole mitään määrää. Hän esitti myös että jos numerot ovat määriä, niin silloin voimme vaikkapa lähteä yhdestä jotakin. Kun se jaetaan puoliksi, on jotain ja kun pistät sen puoliksi, on sinulla neljännes alkuperäisestä. Voit pilkkoa ja puolittaa loputtomasti, mutta silti sinulla on aina jotakin. Eli pääset lähemmäs ja lähemmäs nollaa, mutta et kuitenkaan ikinä saavuta sitä.
1: Vanhin systeemi jossa on nollaan viittaava merkki, on babylonialaisilla. Heillä oli 60 -kantainen lukusysteemi. Ja heillä oli merkeille paikka. Tarpeen tullen he jättivät tyhjän paikan, joka tarkoitti nollaa. Heillä ei kyennyt näkemään jos 0 oli viimeinen luku, joten 2 ja 120 näyttivät samalta. Täytyi katsoa kontekstia, jotta kykeni näkemään mistä oli kyse.
2: Ensimmäinen "kunnon nolla" oli intialaiselta Brahmaguptalta. Hän kehitteli myös algebraa ja negatiivisten numeroiden käsittelyä. Hän asetti tiettyjä sääntöjä sille miten numerot toimivat. Intiasta nolla levisi arabeille ja kiinalaisille ja vietnamilaisille. Koska eurooppalaiset olivat fiksoituneet roomalaisiin numeroihin, eurooppalaisilla kesti kauan aikaa ennen kuin nolla saavutti meidät. Se tapahtui vasta 1200 -luvulla kun Fibonacci käänsi al-Khwarizmin töitä. Eurooppalaiset ottivat luvut käyttöönsä ja nimesivät tämän intiasta peräisin olevan lukusysteemin arabialaiseksi.
Nolla on kuitenkin outo numero.
Se on siis luku, mutta se on ominaisuuksiltaan todella erikoinen. Se ei ole positiivinen, ei negatiivinen, sillä ei ole tekijöitä mutta se ei ole silti alkulukukaan. Sillä on monia erikoisia ominaisuuksia. Aristoteles oli siis tavallaan oikeassa. Nolla on tavallaan äärettömän vastinpari (mutta tavallaan ei, kuten pian huomataan), ja se on äärettömän tapaan enemmän konsepti kuin mitta. Mutta toisin kuin äärettömän, jonka voimme melko usein jättää käsittelemättä, nollaa kohtaa arkielämässäkin.
1: Nolla on kaiken kaikkiaan luku, joka rikkoo monia "normaaleja juttuja", mutta jota ilman moni matemaattinen asia lakkaa toimimasta. Ehkä selvin asia on se, että laskujen notaatio eli merkintä on riippuvainen nollasta. Ilman sen merkintää numerosysteemi lakkaisi toimimasta kunnolla. Lisäksi lukusysteemi on helppokäyttöinen: Esimerkiksi roomalaisilla numeroilla kertominen on paljon vaikeampi toimitus kuin arabialaisilla numeroilla. Samoin desimaalisysteemi toimii nollan avulla.
Nollaan liittyy myös harhaluuloja: Yleisin niistä lienee se, että 1/0=∞ Se ei ole. Kun jaat luvun nollalla et saa ääretöntä. 1/0 on itse asiassa määrittelemätön, merkityksetön. Nollalla jakaminen on itse asiassa kielletty laskutoimitus. Väärinkäsitys johtuu siitä että 0 ajatellaan samaan tapaan kuin Aristoteles sen teki. Tämänkaltainen virheajattelu ei tunnu suurelta, mutta tosiasiassa jos nollalla jakaminen sallitaan, voidaan tehdä monia temppuja: Kun noudatetaan peruslaskusääntöjä, mutta nollalla jakaminen sallitaan voidaan todistaa että 1 = 2:
x = y : *x (kerrotaan molemmat puolet x:ällä)
x2 = xy : -y2 (molemmilta puolilta vähennetään y2)
x2 - y2 = xy - y2 (uudelleenjärjestely tekijöiden mukaan)
(x+y)(x-y) = y(x-y) : /(x-y)¤ (jaa molemmat puolet yhteisellä tekijällä "x-y"):
x + y = y (Koska x=y, voimme vaihtaa termejä keskenään. Eli saamme vaihtaa x:n y:ksi)
y + y = y (sievistetään)
2y=y : /y (molemmat puolet jaetaan y:llä)
2 = 1
¤Ongelma on tietysti siinä, että (x-y)=0, joten itse asiassa jakamistilanteessa jaetaankin nollalla. Kun tämä pieni virhe sallitaan, voitaisiin osoittaa vääriä faktoja, jotka romuttaisivat koko lukusysteemin.
Nollalla jakamisen outoutta voi nostaa esiin muutenkin :
1: Raja -arvojen kautta : Kun 1/x saavuttaa 0:llan, täytyy tuloksen olla samanaikaisesti äärettömän pieni että äärettömän suuri. (Kun x lähestyy nollaa vasemmalta puolelta tulos vähenee rajatta ja kun se x lähestyy nollaa oikealta puolelta se kasvaa rajatta.)
2: Kertolaskukin ja jakolaskun pohjalta näyttää, että 0/0 voisi olla mikä luku tahansa: 0*x=0 toteutuu joka ikisellä arvolla mitä voimme x:älle keksiä. Jos taas jaamme x/0:lla, ja x on mikä tahansa nollasta poikkeava luku, niin jakolaskusäännöt pistävät meitä etsimään ratkaisua yhtälölle 0*x=0. Jälleen mikä tahansa luku kävisi. Näin "oikeaa vastausta" ei voida selvittää.
Kuitenkaan nollalla jakaminen ei ole varsinainen "ongelma" matematiikassa. Sen vastaus on vain määrittelemätön, merkityksetön. Kun matematiikassa jokin on "undefined" se ei johdu siitä että pelättäisiin määritellä asia ja muuttaa se tätä kautta muotoon "defined". Tilannetta ei voi korvata millään "työllä", joka vain voitaisiin laskea. Päin vastoin, nollalla jakaminen on kielletty, eikä sitä ole tehty sattumalta tai laiskuudesta. Sen kielto on olennainen osa matematiikkaa, jotka määrittelevät sen tavan millä ylipäätään ymmärrämme reaalinumerot. Kun tämä aksiooma poistetaan, kaikki reaalilukusysteemin todistusketjut menettävät todistusvoimansa, ne menettävät voimansa. Toki on mahdollista osoittaa asioita myös siten että nollalla jakaminen olisi mahdollista, mutta se vaatisi sen, että koko reaalilukujen laskenta -asia aloitetaan tyhjästä, alusta. Syynä on se, että matematiikassa kuntamäärittelyt liittyvät reaalilukuihin. (Tai kuten Chu-Carroll sanoo erästä epätieteellistä esitystä kritisoidessaan aiheeseen vahvasti liittyvillä asioilla : "Almost every theorem about real numbers relies on the field axioms, and will therefore be invalid in your new system.") Eli toisin sanoen koko looginen konteksti muuttuu täysin erilaiseksi, jos nollalla jakamisen määrittelee.
Elias Lönnrot ehdotti vuonna 1839 suomen kielen nolla-sanaksi tyhjykkää. Kansa ei hyväksynyt. Minusta se on tavallaan herttainen.
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti