Susi puolivillaisissa vaatteissa.

"Filosofia on sitä, mitä tehdään kun ei vielä osata esittää oikeita kysymyksiä."
(Daniel Dennett)

Ensimmäisiä "virheperusteluja", jotka tajusin teinipoikana internetin foorumeilla on rakenteeltaan seuraava: Henkilö saapuu paikalle, ja ilmoittaa että keskustelun taso on huonoa. Hän ei kuitenkaan paranna tilannetta, eli ei tee siitä hyvää tai edes itse keskustele hyvin. Tästä erikoinen versio on henkilö, joka kertoo että "aihe ei kiinnosta", ja sitten flamettaa tästä pitkästikin, yleensä moittivaan sävyyn.

Minua hihitytti jo teininä pirusti. Sittemmin toisto on vienyt huvin.

Tämän kaltaista löytyy tietysti muualtakin. Itse asiassa filosofiassa tähän törmää melko usein. Esimerkiksi Kun "Niin&Näissä" oli aikanaan eräs Humen tekstejen analyysi, oli sitä kommentoitu vihjaten siihen kuinka tylsää tälläinen on. Olen samaa mieltä kirjoittajan vastakommentin kanssa: Jotkut aiheet kiinnostaa toisia, ja toisia ei. Aiheen "tylsyys" ei oikeastaan ole mikään argumentti, sen käyttä kertoo oikeastaan vain kommentoijan ylenkatseesta. Yleinen sääntö on tietysti se, että "jos ei kiinnosta, mene pois" Niin siihen osallistuu sitten sellaiset joita juttu kiinnostaa.

Tätä tylsyyttä on tietysti toisenlaistakin laatua. Tämä on itselleni tuttua "miekkailun puolelta". Sillä tilanne on oikeasti se, että yllättävän monesta on vain kivaa huitoa. Tylsä tekniikan toisto, jossa hiotaan yksityiskohtia millintarkasti ei kiinnosta. Etenkään sooloharjoitteena. Tätä kautta aihepiirin tiimoilla pyörii jengiä, joista tämä homma on "tylsää". Heti pitäisi päästä vääntämään tosissaan.

Sama koskee tietysti myös luonnontieteitä. On aivan normaalia, että valtaosa opinnoista keskittyy kaavoihin ja yhtälöiden ratkaisuun. (Ainakin aluksi, itselläni on vain joitain avoimen yliopiston suoritteita taskussa.) Karu todellisuuden selvittäminen voi olla tässä kaukana. Mutta luonnontieteen perushenkeen kuuluu myös se, että "vain sellaista jonka voit ymmärtää, voit kritisoida". Jos siis ulkoa opittavat yhtälöt joita on kasassa koska tutkimusta on tehty paljon, ja niiden interaktiot eivät "kiinnosta" kannattaa valita "jokin muu ala". Filosofia voi olla erinomaisen hyvä. Etenkin jos olet fiksu.

Aiheessa on toki muutakin. Olemisen Porteilla -blogin sisällä tähän liittyviä teemoja käsitellään asiallisesti. Siinä on erittäin hienoja käsittelyjä mm. ennustamisen ja determinismin suhteesta. En osaisi sanoa paremmin. (Se on siis oikeasti minusta tosi mallikas teksti.) Enkä olla enempää samaa mieltä. Mutta olen kusipää, joten nostan esiin kaikkea sellaista josta en ole "ihan yksimielinen". (Sori.)

Toki se laajenee yleisempäänkin suuntaan. Aloitan siitä mikä mielestäni koskee olennaisesti sitä "erilaisten kiinnostusten" aihepiiriä.

"Vähitellen jouduin kuitenkin huomaamaan, että ne todellisuuden luonnetta koskevat perimmäiset kysymykset, jotka minua eniten kiinnostivat jäivät vaille vastausta. Kvanttimekaniikan kurssilla opetettiin kyllä ratkaisemaan aaltofunktioita erilaisissa tilanteissa, mutta kukaan ei selittänyt, mitä ne oikein tarkoittivat. Viittaukset teoriaan matemaattisena ennustamisen välineenä tai puheet todennäköisyysaalloista ja maailman indeterministisyydestä synnyttivät enemmän kysymyksiä kuin antoivat vastauksia." (Kallio-Tamminen 2006, 9-10)

Tietyllä tavalla tässä on muistettava, että luonnontiede on vähän kuten matematiikka. Sillä on perusaksioomia. Tämä tarkoittaa sitä että matematiikalla on tiettyjä oletuksia joita se ei perustele, ja joita se ei voi perustella. Luonnontiede on mielestäni oleellisesti matematiikkaan verrattavissa oleva työkalu: Nimittäin olennainen vastaus on kaava. Sitä vaan osaa ratkaista aaltofunktioita, eikä tiedä "mitä ne tarkoittavat". Mutta tottakai siinä myös tietää mitä siihen liittyvät asiat tarkoittivat: Kaavassa olevat suureet ovat selvillä. Näin hän kykeni periaatteessa testailemaan sitä, että "toimiiko kaava todellisuudessa". Eli antaako kaava sellaiset tulokset kuin mitä odotetaan vai ei. Luonnontieteen "ongelmana" tässä kohden on yleensä se, että kun sille esitetään kysymys, se vastaa siihen kaavalla. Ja joku päättää kysyä tähän että "mitä tuon kaavan takana on". Ja paras mihin luonnontieteilijä pystyy, on se että hän antaa jonkun toisen kaavan. Tai sitten hän sanoo että ei voi vastata. Aina on jokin kaava josta voidaan kysyä "miksi".

Kaavojen kautta maailman tarkkailun kautta luonnontieteet käsittelevät onnistuneesti myös kaaoottisia systeemeitä: Systeemin ymmärtäminen onnistuu, vaikka pitkän tähtäimen ennusteet onkin mahdottomia. Esimerkiksi Navier-Stokesin yhtälöt auttavat sääennusteissa, vaikka systeemi on kaaoottinen. Niiden testaus auttaa ymmärtämään olennaisia asioita siitä miten sää toimii. Ja kun systeemi on kaaoottinen, tiedämme myös miksi sen tulokset ovat pidemmällä tähtäimellä "tuntemattomia". Syy on se, että sillä on tietyt ominaisuudet. Ja myös tämän ymmärtäminen on (paitsi matematiikkaa), meteorologian kohdalla ehdottomasti (myös) luonnontiedettä. Se ei siis ole jäänyt mihinkään historialliseen konseptiin jossa tavoitteena on olla jonkinlainen laplacen demoni. Luonnontieteen ratkaisukyky kaaoottisten järjestelmien ymmärtämisessä ei liene järkevä kritiikin kohde. Mutta se on tietenkin eri asia kuin "determinismi = ennustettavuus" -rinnastus.

En vain tiedä, kuka siihen enää vakavasti uskoo? Toki moni usko että determinismi jossain "eikaaoottisissa yhteyksissä" tuottaa myös varsin pitkältäkin ajalta melko tarkastikin ennustavia tuloksia, mutta en usko että monikaan katsoo että tämä pätee "aina ja kaikkialla". Tähän liittyen ihmettelen myös sitä, kuka vakavasti otettava kaaosteoreetikko olisi esittänyt että kaaosteoria olisi luonteeltaan indeterministinen. Olen toki kuullut tästä käsityksestä itsessään, mutta lähteeksi en arvaa alan tutkijoita : Luulen että tämä on joko tieteen popularisoijien tai joidenkin muiden vastaavien tahojen väärintulkintaa asiasta. "Joku on tehnyt taustatyön huolimattomasti". Kas, ken on silloin syyllinen? Kaaosteoreetikko? RLY?

Minua ihmetyttää miksi kaava itsessään olisi jotenkin "huono" vastaus. Itse pelkään sitä että tässä käy sama mikä koskee suurta osaa huonoa matematiikkaa: "huono matematiikka on usein sellaista joka ei ole enää ollenkaan matematiikkaa". Eli jossa termit on käännetty arkikielelle, jolle se ei tietenkään useinkaan sujuvasti taivu. Onko halu "kaavan syylle" enemmän ihmisen mielessä oleva tunteellinen halu kuin mikään sen perustellumpi vaatimus? Tämä tietämisestä.

Nimittäin siitä tietämättömyyden myöntämisestä löytyy hauska esimerkki juuri mainutusta kohdasta kvanttimekaniikkaa: Esko Valtaojan "Ihmeitä" -kirjan sivu 256 kertoo seuraavasti:
"Ainoa lohtuni on se, että edes Niels Bohr kaikkine sittemmin Nobelin palkinnon saaneine oppilaineen ei osannut selittää, mistä kvanttifysiikassa on kysymys. Heidän laatimansa Kööpenhaminan tulkinta on oikeastaan pelkkä pyyhkeen kehään heitto, luovutus mikromaailman todellisuuden edessä: Kun tehdään näin, tuloksena on tämä, mutta älä kysy miksi. Ja jos mitään ei tapahdu, on vielä turhempaa kysyä mitä on oikeastaan tapahtumassa. Todellisuus ilmenee vain havaintojen kautta. Kuuluuko ääntä kun puu kaatuu metsässä mutta kukaan ei ole kuulemassa, oli Piispa Berkeley ihmetellyt jo parisataa vuotta aikaisemmin: Kysymys on vailla mieltä sanovat Kööpenhaminalaiset; Mutta tässä on tapahtumaa kuvaava Schrödingerin yhtälö."

Kallio-Tamminen siis moittii koulua siitä että se opetti kaavoja, joiden tiedetään toteutuvan. Hänelle ei siis kerrottu sen taustailmiöitä, joita kukaan ei tiennyt. Mielestäni siitä pitäisi jakaa kritiikin sijasta mitali : Ontologiset tulkinnat kun ovat huimia kysymyksiä, eikä niihin ole keksitty "pätevää empiiristä testiä". Ja kun näin on, kysymyksiin ei ole luonnontieteellistä vastausta. Ja siihen asti niihin vastaaminen ei oikeastaan ole "ehtaa kvanttifysiikkaa" vaan kvanttifysiikkaa käsittelevää filosofiaa.

Tätä kautta voidaan sanoa että ottamassani lainauksessa syytettiin luonnontieteilijöitä siitä että nämä eivät ensin vastaa eiluonnontieteellisiin kysymyksiin, eikä henkilö itse ole tehnyt niistä luonnontieteellisiä. Lisäksi tässä on mukana ehkä aavistus sitä, että laskenta ja opettelu on koettu "tylsäksi", kun on haluttu "huolellisen tekniikaktreenin sijasta mennä suoraan mm -otteluihin tulkitsemaan sitä mitä helvettiä kvanttimekaniikka oikein tarkoittaa". ja joka tämän jälkeen päättelee luonnontieteellisen kulttuurin "tylsäksi". Ja tekee sitten sen, mikä on aivan oikein. Eli vaihtaa sellaiseen alaan, jossa tämä hänestä mielenkiintoinen asia pääsee keskiöön. (Harharetket sallittakoon jokaiselle!)

Toinen mielenkiintoinen kysymys on siinä, että "kysymysten jääminen" on eräällä tavalla sitä, mitä luonnontieteiden odotetaankin tekevän. Yllättävää kyllä, esimerkiksi Imre Lakatoksen tapa tulkita luonnontiede nimenomaan tutkimusohjelmien kautta ja muut vastaavat tarkoittavat että se ei ole niinkään "tietämistä" kuin "tutkimista".

Ja kaikki puheet kvanttifysiikan "ontologisten kysymysten tutkimattomuudesta" ja niiden ylimielisestä ohittamisesta ovat sen luonteisia että en tiedä mistä ne ovat peräisin : Niitä yritetään lähestyä. Mutta empirian pohjalta. Jos sitä voidaan testata, se on OK.

Tämä voi olla hurja väite?

Otan tässä avukseni Esko Valtaojan "Ihmeitä" -kirjan. Se ei ole huipputieteellinen, mutta jo sen sisältämä riittää pistämään "palasia konteksiin". Sivulla 273 kerrotaan seuraavaa "Eräässä kvanttivelhojen kokouksessa Cambridgessa pidettiin taannoin äänestys. Enää neljä osallistujaa kannatti Bohria, kuusi jotain Einstein -tyylistä vaihtoehtoa ja kokonaista kolmekymmentä Everettin monimaailmatulkintaa. Mutta koska 50 osanottajaa rastitti kohdan "emmävaantiiä", jäädään odottavalle kannalle." Sillä jokaiselle kvanttifysiikan perusteisiinkin tutustuneelle on selvää, että kyse ei ole pelkästä indeterministisyysversiosta. Kööpenhaminan tulkinnan, monimaailmatulkinnan ja EPR -paradoksiin liittyvät näkemykset lienevät kaikille alaan vähänkin tutustuneille "vähintään kuulolta tuttuja". Näiden eri tulkintojen mukaan käsitellään ontologisia kysymyksiä, kuten sitä onko maailma deterministinen vai indeterministinen. Aiheen miettimättömyys ja kysymysten käsittelemättömyys kuulostavat siis aika uskomattomilta. Erilaisia näkökulmia on. (Ja kun niihin törmää humanistisissa aloissa, niiden kerrotaan korostavan nimen omaan alan itsekriittistä luonnetta. On paljon positioita ja niiden välillä riidellään.)

Ehkä kyseessä onkin vain se, että asiaan pitäisi ensin tutustua tylsän kaavatreenin kautta eikä vaan suoraan rynnätä jännään freeplayontologiamietintöön?

Jos tälläinen freeplaykulttuuri olisi voimissaan, voitaisiin kysyä että mikä se olikaan se empirian keskeisin juttu, oliko se pelkkä spekulointi vai vaadittiinko niihin myös testausta? Eikö se ole niin että testaamattomissa oleva spekulaatio on enemmän kuin väärin - se on luonnontieteellisesti turha? Mielestäni tämä ei vie luonnontieteitä kohti ranskalaista tekstintulkintaa, vaan pikemminkin poispäin siitä. Sullä "ranskalainen filosofia" on tuttua saivarteluistaan jotka koskevat juuri sitä miten tulkinnan ulos ei voida pätevästi päästä. Näitä "taustakysymyksiä" pohditaan siinä hyvinkin pitkälle. Se päin vastoin vie sitä - ehkä liikaakin - kohti matematiikan maailmaa, tai ehkä pahimmassa tapauksessa kohti "mekaanista suorittamista". Mutta tätä ei luonnollisesti saisi sanoa ääneen: Olen tietoinen siitä, että erilaisia rajoitteita halutaan esittää sille kuka sanoo mitä: Usein on sellainen henki että joihinkin asioihin ei saa sanoa kannanottoja kun on luonnontieteilijä. (Onneksi olen amatööri. Meidät voi vaan unohtaa, joten selvinnen ilman ongelmia.)

Tosin on myönnettävä että olen täysin yksimielinen blogauksen kanssa seuraavasta: "Todellisuudessa, uskallan epäillä, monetkaan luonnontieteilijät eivät arvioi kriittisesti perustavia taustaoletuksiaan, vaan ratkovat tehtäviä ja ongelmia välineellisen järjen pragmaattisella vimmalla. Tieteellisen kulttuurin toimintapa, toistan, on eri asia kuin siitä levitettävä tieteenfilosofinen idealisoiva ideologia."

Tuohon lainaukseen liittyy mielestäni erittäin tiiviisti paljon viisautta.

Ensinnäkin on syytä erottaa erilaiset tieteenfilosofit.
1: Osa on ikään kuin "lintujen tarkkailijoita" eli katsovat mitä tiedemiehet tekevät ja sanoavat että se on tiedettä. Tämä ei kerro mitä sen pitäisi olla, mutta kertoo sen mitä se on.
2: Toiset taas rakentavat jonkun ehkä toteutumattoman tavoiteutopian jota kohde pitäisi pyrkiä. Heillä taas syntyy ohjeita ja "pelisääntöjä". Karkeasti sanoen myös ehtoja sille onko joku tieteentekijäksi itseään kutsuva oikeasti tekemässä tiedettä.

Tiedemiehet enimmäkseen tekevät, ja ratkovat vain yhtälöitä : Kokemuksienikin mukaan suuri osa sikalan ruokintatutkimuksistakin on "rutiinia", niissä on tietty tapa jolla ne on rakennettu. Se on vain "säännön" seuraamista. Harva keksii uusia lähestymistapoja luonnontieteisiin. Vielä harvempi keksii uuden luonnonlain. Suurin osa on "akateemisia suorittajia". Kyseenalaistamista ei tässä tarvita. Se voi jopa haitata duunintekoa. (Mi on tietty from arse.) Mutta sama koskenee filosofejakin. Valtaosa valmistuneista filosofeista on mallia "Olipa kerran kauan sitten kuollut miesjoukkio, joka on jaotellut tämän käsitteen seuraavilla erilaisilla tavoilla. Ja he eivät eläneet onnellisena elämänsä loppuun asti." Ja tasa -arvon vuoksi osa liittää perään lauseen "ja tämä sorti naisia". Tästä voi tietenkin itsekriittistä sepeämistä, kun jokin käsite kyseenalaistetaan kaikilta tunnetuilta suunnilta. Kovin luovaa tämä ei ole. (Toki joku löytää jotain tarkennuksia, uutta, esimerkiksi Humesta, joka on juuri tuollainen kuollut ukko.) Aina se ei ole itsekriittistäkään.

Lisäksi moni filosofi näyttää "valmistumisen jälkeen" välittömästi unohtavan itsekriittisyyden. Heille muodostuu positio, jota he puolustavat. Heistä tulee massivisten - ja parhaimmillaan itsensä kanssa sisäisesti ehjien - ideologioien rakentajia. Ja tästä maailmankatsomuksesta tulee jopa jotain "opetettavaa muille". Mielestäni tämä ei ole "filosofian ongelma" vaan "yksilöiden ongelma".

Toisaalta osa itsekriittisyydestä voi olla sitä, mikä pienen sisareni kokemukset ovat "siellä Rovaniemen yliopiston puolella". Naistutkimuksessa ei opita mitään muuta kuin itsekriittisyyttä, koska tunnit kuluvat väitellessä. Tästä on vaikeaa saada selvää siitä mitä koko naistutkimus on. Paitsi sitä että proffa riitelee opiskelijoiden kanssa kärkkäästikin. Tästä itselleni tulee mieleen ne miekanhuitojat jotka ei opettele perustekniikoita ja ryntäävät ensitöikseen freeplayn maailmaan. Onhan se taisto jännää ja voittaminen kivaa.

Olen samaa mieltä myös siinä että luonnontieteet asettavat paljon haasteita, ja tekevät sitä nimen omaan filosofeille. Filosofit voivat tosiaan tehdä oman lisänsä kvanttifysiikkaan. Ja he voivat miettiä matematiikankin aksioomien pohjaa. Ja muita asioita, joihin ei vielä ole vastausta. Jos ne tiedon vakaat perustat sieltä joskus löytyvät. (I'm not holding my breath.) Siihen asti olen valmis uskomaan että kaikki filosofia, päättely, logiikka, matematiikka ja tiede nojaa ihan perustaltaan jonkinlaisiin perustelemattomiin arvauksiin.

Mikä tekee kaaoottisen?

Kaaosteoria on saanut julkisuutta esimerkiksi "Jurassic Park" -elokuvassa. Muutenkin se tunnetaan nimeltä aika hyvin. Kuitenkin se, mitä se pitää sisällään on usein vähemmän tunnettua.

Perustausta.

Laplace kuvitteli (Laplacen) demoninsa, joka tietäisi lopputulokset tuntemalla lait. Hän edusti tietyllä tavalla aikansa kuvaa: Mahdollisuus tietäminen tarkasti kaikesta korostui. Meteorologian allalla tähän liittyi John von Neumannin toiveet: Hän toivoi että datalla ja yhtälöillä voitaisiin tehdä täydellinen sääennustuskone. Siksi ajan hengessä ajatuksena ei ollutkaan pelkkä ennustaminen, vaan tavoitteena oli sään hallinta.

Meteorologiassa tämän toi esiin Edward Lorenz, joka huomasi että ennusteet muuttuivat jos ohjelmaan syötettiin likiarvoja. Pieni muutos vaikutti paljon. Tämä perhosefekti on kuvattu kansanomaisesti usein kuvauksella sitä, miten "perhosen siivenisku voisi aikaansaada myrskyn maapallon toisella puolella".

Tietenkään von Neumannkaan ei uskonut että ihmiset voisivat kerätä dataa niin täydellisesti että sää voitaisiin ennustaa täydellisesti menneisyyteen ja nykyisyyteen. Mutta alkuarvoherkkyys romahdutti näkemyksen "rajoista". Eli jos mittaustarkkuus oltaisiin tehty 0,1% tarkkuudella, tätä voitaisiin käyttää apuna ja saada erittäin tarkkoja tuloksia. Eli melko tarkalla saataisiin melko tarkkoja tuloksia. Mutta Lorenz näytti että näin ei tapahdu. "Mittausvirheet ikään kuin kasvavat korkoa ilmastosysteemissä".

Tietenkin jotkut asiat voidaan ennustaa juuri tällä tavalla. Esimerkiksi ihmiset pystyvät ennustamaan auringonpimennyksiä satojen vuosien ajalta tarkasti. Ja tarkemmalla mittaamisella näistä saadaan tarkempia tuloksia. Ja aurinkokunnassa on enemmän kuin Poincarén kolme kappaletta. Ero on siinä, että kaikki systeemit eivät ole tämänkaltaisia. Todellisuus on melko usein lähempänä sääennusteita kuin meidän aurinkokuntamme planeettojen ratoja. Monet radat ovat kompleksisia.

Mitkä ominaisuudet tekevät systeemistä kaaoottisen?

Monet kompleksiset systeemit ovat rakenteeltaan sellaisia että ne on helppo kuvata, mutta niissä on sellainen ominaisuus kuin alkuarvoherkkyys. Tämä on juuri sitä perhosefektin ominaisuutta, jossa pieni muutos alussa muuttaa tapahtumia paljon. Eli "jos teet pieniä muutoksia alkutilaan, sillä on suuria vaikutuksia lopputulokseen".

Esimerkiksi sääennusteet tekee alkuarvoherkiksi se, että siinä käytetään Navier-Stokesin yhtälötä. Ne ovat yksinkertaisia kaavoja jotka käsittelevät sovellettuna esimerkiksi sitä miten nesteet kulkevat ja ovat interaktiossa toistensa kanssa. ("Ne ovat näissä ihan hyvää fysiikkaa". Eli kaavat on valittu tieteen vuoksi, ei sen vuoksi että niiden kautta ennustaminen olisi vaikeaa tai kaaoottista..) Tässä on sellainen ominaisuus, että jos meillä on jokin systeemin tila, emme ovi sanoa miten virtaukset kulkevat jonkun pisteen läheisyydessä ilman että laskemme tuloksia muualta systeemistä liittyvillä pisteillä. "Kaikki vaikuttavat kaikkeen." Siksi ilmastoennusteita laadittaessa on valtava määrä pisteitä, joiden kautta lasketaan ennusteita yksittäisille pisteille. Ne toimivat lyhyillä ajoilla ihan hyvin. Tässä on kuitenkin ongelmana se, että jos teet pienen muutoksen, koko ennuste on dramaattisesti erilainen.

Tähän asti tämä lienee "ymmärrettävää, hieman uutta mutta kuitenkin sitä tuttua tavaraa". Sillä tämä osio on se, mitä jopa "Jurassic Park" kertoo. "Laita käden päälle vesipisara ja satunnainen auton tärinä tekee sen että et tiedä minne pisara tipahtaa". Toki tämä alkuarvoherkkyys on erittäin tärkeä osa siitä mikä tekee systeemistä kaaoottisen.

Mutta se ei ole ainut osa. Muut osat vain usein helposti unohdetaan.

Kokonaiskuvaan tarvitaan ainakin hieman topologiaa. Siinä mietitään sellaisia "tylsiä juttuja" kuten jatkuvuutta, raja-arvoja, mutta myös hauskoja asioita. Tässä kohden keskityn siihen että sen piirissä tutkitaan sitä, miten kappaleiden ominaisuudet muuttuvat tai eivät muutu, kun niitä venytetään ja väännellään (joka voi tarkoittaa myös "eri kulmasta katsomista".) Kun geometriassa tärkeää on pituus ja pinta -ala, topologia keskittyy muotoon. Kaaoottisilla systeemeillä on sellainen topologinen ominaisuus, topological mixing. Sen kuvaaminen on tietysti matemaattisesti hienostunutta, mutta tässä kohden riittää ymmärrettäväksi se, että sen topologiset ominaisuudet ovat sellaisia että olipa lähtöpisteesi mikä tahansa, niin ajan kuluessa voit päätyä oikeastaan aivan minne tahansa systeemiä. (Tämä liittyy siihen miten kaikki kohdat ovat toisiinsa liitoksissa.)

"Meille ehkä riittää" se, että topological mixingiä voidaan kuvata "hevosenkenkäkartalla": Otetaan kuutio ja venytetään se pitkäksi. Sitten taivutetaan se hevosenkengäksi. Ja sitten asetetaan se alkuperäiseen neliään siten että toinen osa on neliön ulkopuolella. Sitten iteroi tää kartta. Valtaosassa kaaoottisia dynaamisia systeemeitä itse asiassa on tälläinen "hevosenkenkä": Eli alue, joka on venytetty (josta seuraa herkkä riippuvuus Paikasta A pääsee nopeammin kaukaiseen paikkaan B) ja taivutettu (jonka seurauksena kaukana olevat pisteet "tulevat lähelle") ja jotka on sitten asetettu yhteen "alkuperäisen itsensä" kanssa.

Nämä kaksi eivät tietenkään vielä kuvaa kaaosta täydellisesti.

Kaaoottisilla systeemeillä on myös kolmas ominaisuus. Niissä on ominaisuus joka tekee niistä miltei toistuvia. Niissä on erikoislaatuisia kiertoratoja, dense periodic orbits : Eli niissä on itseään toistavia osia. Eli jos systeemi ohittaa alueen jonkun pisteen läheltä, se kulkee sen läheltä yydestaan. Se ei välttämättä toista kierrosta aivan sellaisenaan. Itse asiassa jos se toistaisi aina samanlaisia kiertoratoja, systeemi EI olisi kaaoottinen. Mutta se kulkee "melko läheltä kiertämistä". Tietyllä tavalla voidaan ajatella että kaaos on "milteikiertoratoja". Joku on piirtänyt ympyrät hieman huomimattomasti, ja siksi ympyrä ei ole sulkeutunut. Ja näitä on sitten laitettu yhteen.

Tätä kautta kaaoottinen systeemi ei ole suoraa kulkeva, lineaarinen tai sellaisenaan toistuva, syklinen. Se ei ole myöskään satunnainen: Se ei välttämättä edes sisällä "valintakohtaa", jossa yhdestä tilasta voisi siinä tilanteessa tulla joko A tai B. (Se ei ole "pakollisten ominaisuuksien listalla", eli deterministinenkin systeemi voi olla kaaoottinen.) Sen sijaan se on dynaaminen, "miltei toistuva" rata. Idean huomaa selvästi katsomalla kuvia kaaoottisista systeemeistä. (Esimerkiksi tuon linkin takaa.) Ne ovat usein melko esteettisesti kauniita. Niitä katsellessa huomaa että kyse ei ole selvistä toistuvista kiertoradoista, mutta ei satunnaisesta etenemisestäkään.

Sattuneista syistä kaasteoriaa esitetään "Kalle Kadunmiehelle" tiivistetysti. Tämä on tietysti OK, koska asiaan liittyy vaikeita käsitteitä ja laskentaa (jota ainakaan minä en hallitse mainittavasti.) Sen sijaan keskittyminen vain yhteen osa -alueeseen aina ja kerran toisensa jälkeen tuo helposti sellaisen kuvan, että "ymmärrä pala, ymmärrä koko juttu".