Matematiikassa algoritmeillä on tärkeä rooli. Hilbert uskoi että matemaattisin menetelmin voitaisiin ratkaista mitä vain, ja hän nostikin algoritmin luonteen läytämisen keskiöön. Ongelman ratkaisi Alan Turing, joka pelkisti matemaattisesta prosessoinnista epäoleellisen. Jäljelle jäi Turingin kone, teoreettinen laite. Siinä on lukupää ja kirjoituspää, sääntö/ohjelmisto jolla se toimii ja ääretön nauha. Laite lukee nauhalta tietoja, siirtelee nauhaa eteenpäin ja taaksepäin. Ja kun kone saa vastauksen, se tulostaa vastauksen.
Tärkeää oli se, että Turingin kone oli algoritmin määritelmä ja tietokoneen perusmalli. Näin ollen tietotekniikan kyvyt ja matematiikka osuvat yhteen.
Samalla päästiin miettimään myös laskennallisuuden rajoja. Ratkeavuusongelmat alkoivat kiinnostamaan. Hilbertin optimismi matematiikan kyvyistä osoittautui liioitelluksi ; Esimerkiksi kun havaittiin pysähtymisongelma. Se näyttää että algoritmi ei kykene kertomaan kyvyistään. Ei voida selvittää saavuttaako kone lopputuloksen vai jääkö se pyörimään ikuisesti. Jos algoritmi pyörii äärettömästi, se ei voi kertoa sitä. Jos algoritmi ratkaisee kysymyksen, tiedetään että se voi ratkaista ongelman. Mutta monesti "tulee seinä vastaan".
Tietokoneohjelmiston kannalta on otettava esiin esimerkiksi Kleenen kiintopistelause. Sen mukaan ei esimerkiksi voida tehdä täydellistä tietokonevirusta ; Ei ole yksinkertaisesti sellaista ohjelmaa joka voisi manipuloida minkä tahansa ohjelman toimimaan väärin. Samoin Gödelin
epätäydellisyysteoria on johtanut sovellukseen jonka mukaan ei ole mahdollista tehdä täydellistä virusturvallisuusohjelmaa joka ei muuttaisi samalla koneen toimintaa.
Diofantoksen ongelma on siitä olennainen, että hän mietti kokonaislukuratkaisujen etsimistä. Haaste on helposti muotoiltava ; On etsittävä kokonaislukujuuret polynomille jonka kertoimet ovat kokonaislukuja. Hilbert oli kiinnostunut näistä Diofantoksen yhtälöistä. Haastetta riittikin, sillä ratkaisuja oli paljon vaikeampaa etsiä kuin reaalilukuvastauksia. Diofantoksen yhtälöiden kohdalla laskettavuuden seinä tuleekin vastaan ; Osoitettiin että mikään tietokoneohjelma ei osaa kertoa varmasti sille annetusta Diofantoksen yhtälöstä sen, onko sillä ratkaisua. Ratkaisussa törmätään pysähtymisongelmaan.
Onkin mielenkiintoista, että vaikka matematiikkaa pidetään joskus suorastaan jumalallisena ja kaikkitietävänä - tästä on vahvoja sävyjä esimerkiksi Platonin ideamaailman ajattelutapoihin yhdistetyssä teologisessa ajattelussa, kun ideamaailma yhdistetään transsendenttiin yliluonnolliseen, Jumalan kaikkitietävyyteen ja muuhun vastaavaan - sillä on kuitenkin rajat.
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti