Kaltevasti pinnalla

Lueskelin Wikipediassa Kleinin pullosta. Sen englanninkielisellä keskustelusivulla vastaani tuli jotain jota ei kenties osaisi odottaa wikipediassa, joka ei aja "omaa tutkimusta". Kommentointipuolella on tietysti vapaampi henki, ja tämä on sekä hyvä että huono asia.

Siellä nimittäin kerrotaan miten kommentoija kokee Kleinin pullon ja Möbiuksen nauhan tärkeäksi medintointiapuvälineeksi. "excellent meditative devices, a bit like Zen koans" Teksti on hyvin pitkä ja kiinnostuneet voivat lukea sitä itse. Ideana on se, että kleinin pullo on ainutlaatuinen vertauskuva "The Sphere for a long time was a symbolic figure of Totality; but a Sphere actually presupposes two incommensurable surfaces. The Moebius Loop and the Klein Bottle are far more itneresting and useful symbols for Totality (or Unity, Oneness)." ja että tämä on apuväline joka selvittää vanhan ZEN -filosofiassa vastaan tulevan ongelman ykseyden ja moneuden suhteesta. "age-old 'problem' of the relationship between 'one and many' requires that difference is possible. How do you get One to self-differentiate?" Kleinin pullo opettaakin meille sitten esimerkiksi suhteen transsendenttiin.

Tämä voisi tietysti olla mielenkiintoinen itsessään, mutta tässä vertauskuvassa esitetään olevan enemmän "So, you can say that the KB and ML are 'symbols'; but they are something more than that. They are 'analogies' or 'analogues', in a rather deep sense. There is something about the 'logic' of their definition which seems to correspond (co-respond) very neatly and nicely with the structure of experience that I am far too briefly indicating here." Ja tämä syvempi analogia kertoo totuuden ihmisyydestä "from the spatiotemporally localised-limited perspective of an 'embodied being', it appears (for reasons I won't go into here) to be inherently demarcated into two divided domains: the 'internal' and the 'external', concepts which often are superimposed upon the 'mental' and the 'physical', the 'private' and the 'public', and so on." Ja että tällä on takana jo paljonkin fenomenologista tukea. "From my point of view, this is a 'theory' that has a good deal of experimental (phenomenological) proof, already."

Tämänlaisen systeemin ongelmana on tietysti se, että siinä hypellään tasolta toiselle.
1: Siinä käsitellään matemaattista abstraktiota, ja sitten selitetään että fysikaalinen maailma on juuri tämänlainen. Tämä on mielivaltainen hyppy, koska topologisia konsepteja on hyvinkin erilaisia.
2: Siinä katsotaan kleinin pullon sisä- ja ulkopuolen määrittelyeron vaikeutta ja selitetään että tämä vaikeusero olisi yleistettävissä. Vaikka tosiasiassa toisilla topologisilla konsepteilla on toisenlainen tila ; Pallolla on kaksi pintaa ja sen kohdalla on myös järkevä sisä- ja ulkopuolen ero.
3: Siinä hypellään näkökulmien vertauskuvan ja mallintavan vertauskuvan välillä etenkin silloin kun abstraktiolta hypätään sosiaaliseen kulttuuriin. Siinä taso on selvästi samanaikaisesti näkökulmien vertauskuva joka selventää että yksityisen ja poliittisen erottaminen tosistaan on usein vaikeaa (mikä onkin totta) ja samalla tämä tasomaisuus nähdään ikään kuin asian luonteena ja jonain joka olennaisesti myös kuvaa tämän sosiaalisuuden rakennetta (mikä taas jää todistamatta).

En ole oikein koskaan ymmärtänyt näitä kuvauksia joissa jokin vertaus joka tekee asiasta muistettavan muuttuukin ikään kuin matkan varrella konkreettiseksi. Vertaus muistisääntönä ja oppimisvälineenä sekoitetaan tässä käytänteessä samaksi asiaksi kuin vertauksen konkreettisuus ; Jos asia opitaan ja voidaan selittää helposti muistettavasti, se ei ole sama kuin asian "perimmäinen luonne".

Näissä tuntuukin usein olevan takana se, että jos ideologialla on jokin monimutkainen ja ylitsepääsemätön vaikeus, he ottavat konseptin jonka avulla tätä ongelmaa voidaan väistää. Ja näin päästään siihen että todellisuus mukailee Kleinin pulloa koska Kleinin pullo tarjoaa kätevän keinon joka poistaa intuitiivisen arkikielen tasolla tunteen ongelmasta. Kleinin pulloa ei siis havaita yhteensopivaksi todellisuuden kanssa, vaan koska jo valmiiksi todeksi päätetty maailmankuva pitää sisällään vaikeuksia joihin Kleinin pullo tarjoaa jonkinlaisen ratkaisun, on sen oltava sama kuin osuva todellisuuden kuvaus.
1: Tämä on tavallaan vielä mutkan verran hauskempaa ; Koska sisäpuoli ja ulkopuoli on Kleinin pullossa intuitiivisesti ongelmallinen (matemaattisesti se ei ole paradoksaalinen tai ongelmallinen ollenkaan, se ei ole paradoksi matematiikassa vaan suhteessa arkiajatteluun), niin yhden ja monen välinen ero olisi samanlainen epäintuitiivinen ongelma eikä jotain joka nyt vaan tulee nimenomaan analyyttisen ajattelun kohdalla vastaan.

Tosin mystiikan kohdalla tässä tuntuu olevan innostus termeihin termejen vuoksi. Kleinin pullo ei itse asiassa ole kovin intuitiivisia ongelmia purkava esimerkki koska se on itsessään varsin omituinen. Sitä ei esimerkiksi voida tehdä kunnolla kolmiulotteisena kappaleena, vaan siitä tehdään ikään kuin "likiarvoja". Se "ei mahdu" kolmiulotteiseen maailmaan. Siihen liittyviä matemaattisia sanoja voi kuitenkin käyttää uskottavuudentuomisvälineenä.

Mutta fenomenologisessa analyysissähän onkin kysymys kokemuksesta ja fiilistelystä. On aina mukavaa kun joku tarjoaa meditaatiotyökalun jonka ydin on siinä että todellisuus on jotain koska siihen saadaan fiiliksiä. Tässä vain aina tuntuu unohtuvan se, että fenomenologit korostivat sitä että mallintamiset ja vastaavat sitovat ajattelua, johtavat kokemuksen välineelliseen mekaniikkaan olemassaolon sijasta. Ja itse asiassa Kleinin pulloesimerkkimmekin voidaan nähdä tämänlaiseksi pinnallistamiseksi.

Arvoitukseksi on lisäksi jäänyt se, miten tämänlaisten ajatusleikkien avulla kasvetaan ihmisenä. Mutta oppiipahan siinä sivussa matematiikkaa kuitenkin.

Peräaukkonsa reunat

Markus Kajon "Kettusen paluu:ihmisen käsikirja" pitää sisällään muutaman kerran toistuvan vitsin torusihmisistä ; Eli ihminen on topologisesti rinkula. (Kuvassa torus/topologinen ihminen.) Tällä omituisella faktalla huvitellaan. Tämä tiivistyy ihmisen olemassaoloon evoluutiohistoriaa kuvaavassa luvussa ja päätyy loppukaneettiin "Evoluution taipaleella ihminen on ehtinyt olla milloin lintuna, milloin kalana tai apinana, mutta periaatteessa ihmisen rakenne on - edelleenkin - yksinkertainen: ihminen on vain peräaukkonsa reunat."

Toki Kajon lausunnassa on "komediallista tarkkuutta mutta tieteellistä epätarkkuutta", esimerkiksi silloin kun hän esittää että "ihminen olisi ollut lintuna", on selvää että määritelmällisesti ihminen ei ole ollut lintu, vaan matkan varrella on tapahtunut muutosta. Toisaalta Kajon keksintö muistuttaa siitä että ihmiset ajattelevat liian usein olemusajattelun kautta ja tätä kautta lajien muokkautumista toisiksi lajeiksi ei ymmärretä oikein. (Evoluutioteorian väitetään tässä valossa väittävän sellaista mitä se ei väitä, ymmärtäminen ei siis tässä kohden vaadi samaa kuin evoluutioteorian sisällön hyväksymistä, vaikka kirjoittaja toki sen hyväksyykin.) Tässä mielessä "Kajon virhe" on kuitenkin mahdollisesti "vallitsevaa virheellistä ajattelua korjaavaa mallia".

mutta siinä on kuitenkin hyvin tärkeä muistutus. Evoluutiohistorian tutkimuksessa mukana on fossiilejen rakenteen analyysiä joka on pohjimmiltaan vertailua. Kuitenkin tämä vertailu ei ole mitä tahansa analogiaa, vaan sen analyysit perustuvat topologisiin keksintöihin. Aivan kuten evoluutiota nähdään liian helposti olemusajattelun kautta, taksonomiaa nähdään pelkästään analogiapäättelynä "noin yleisemmin" - ja tämäkin on evoluutioteorian väärinkäsittämistä. Pelkästä analogiasta noustaan spesifimpään analogioiden käsittelyyn; on topologisista eroista ja niiden rakentamista hierarkioista.

Markus Kajon topologia auttaa tässä sen verran että on puhuttava homeomorfismista, joka on yksinkertaisesti sitä, että asiat ovat homeomorfisia jos niitä voidaan muuttaa toisikseen "venyttämällä tai supistamalla" olevia osia ilman että osia lisätään tai rikotaan. Tämäntapainen on yksinkertaisimmillaan jotain jota voi tehdä yksinkertaisella kuvankäsittelyeditorilla venyttämällä kuvassa olevia viivoja ja venyttämällä muita viivoja rikkomatta yhteyksiä (kuten ohessa olevat keskenään homeomorfiset muodot ehkä valaisevat).

Lajien kohdalla tämä vertailu ja sen spesifisyys on tietysti astetta mutkikkaampia koska niissä ei ole kysymys vain muutamasta viivasta ja yksinkertaisista geometrisista muodoista, mutta sama idea kuitenkin tiivistyy siihen malliin miten Richard Dawkins selittää asian "Maailman hienoin esitys" -kirjassaan siihen miten kaikkien selkärankaisten rakenne rakentuu mukaillen vanhaa lastenlorua joka alkaa "Your toe bone connected to your foot bone" ... vaikka samanlaisilla osasilla voitaisiin tietysti periaatteessa koota muunlaisiakin kokonaisuuksia. Evoluutiossa tämänlaatuiset ilmiöt ovat odotettavissa. Rakenteiden homologisuus ei siis ole "mielipidekysymys" tai niiden vakuuttavuus kyseenalaistettavissa samalla tavalla kuin analogia-argumenttien kohdalla on epäanalogioiden kohdalla.

Toki tämä ylläolevakin on vain yksinkertaistus. Sillä tosiasiassa myös uusia rakenteita voi syntyä ja vanhoja surkastua jopa kokonaan pois. Tätä kautta on viitattava Wilkinsiin joka muistuttaa mielenkiintoisesti, että taksonomiassa käytetään paljon Tverskyn samanlaisuuksien arviointiin käyttämää menetelmää. Samanlaisuus on tässä relaatio, jossa kohde ja toinen kohde ovat suhteessa toisiinsa, ja niiden rakenteiden päällekäisyydet kasvattavat samanlaisuutta ja uniikkiudet erottavat toisistaan. Kun tämä otetaan keskiöön, voidaan selvittää sitä, mitkä piirteet ovat olennaisia. Wilkins nostaa tästä esiin olennaisen huomion (jonka kreationistit tuntevat, mutta eivät sen ratkaisua) "What is crucial to understanding similarity like this, which was developed for a generic psychological account and not just for science, is that the choice of features to evaluate (which may be entirely unconscious, or a cultural convention, or even biologically imposed) determines what counts as similarity in each case. With a different feature set, different similarity indices might arise, and indeed the history of science has been one of finding the "right" feature set."

Siksi Dawkinskaan ei jää kahden kohteen samanlaisuuksiin ja erilaisuuksiin, vaan jatkaa kirjassaan samanlaisuuksien vertailua laittamalla hierarkisempia puita. Kun samanlaisempia laitetaan yhteen ja niitä järjestetään syntyy nested hierarchy. ; Carl von Linné onnistui järjestämään eliökunnan hierarkiseen järjestykseen, mutta sama ei toiminut kivillä vaikka kiviäkin voitiin asetella analogisten mallien tapaan erilaisiin järjestelmiin (ja autotkin lainaavat innovaatioita toisista ketjuista, joten niissäkin samoja innovaatioita käytetään monessa eri suunnassa siten että ne "loikkivat" melko vapaasti. Näin autotkaan eivät rakenna nested hierarchyjä vaikka moni mies tietysti onkin autoissaan esimerkiksi merkkiuskollinen.)

Evoluutiossa tutkitaan erilaisia analogisia rakenteita (yhteinen toiminto, samaan ongelmaan samankaltainen ratkaisu) ja homologisia (peritty ratkaisu) osia erotellaankin toisistaan, katsotaan mikä innovaatio on ratkaisu samantapaiseen ongelmaan ja mikä perittyä. Usein tähän löytyy avaimia nimenomaan "Dawkinsin lorun kaltaisista joskin tieteellisesti spesifimmeistä apuvälineistä". Esimerkiksi maamyyräsirkalla ja maamyyrällä (nykyään virallisesti kontiainen, mutta olen jotenkin kiintynyt vanhaan nimeen) on samantapainen mekaniikka ryömiä maan alla. Mutta ne eivät ole lähisukulaisia, vaan rakenne yhdistää maamyyräsirkan selvästi suorasiipisiin ja maamyyrän nisäkkäisiin, eikä tämä yhdistelmä ole vain analogisten piirteiden mielivaltaisesta valinnasta; Kontiaisen ja maamyyräsirkan samanlaisuudet eivät ole "oikeanlaista analogisuutta". Ratkaisu olennaisista ja epäolennaisista analogioista tulee kladistiikan kautta.

Mikä tekee kaaoottisen?

Kaaosteoria on saanut julkisuutta esimerkiksi "Jurassic Park" -elokuvassa. Muutenkin se tunnetaan nimeltä aika hyvin. Kuitenkin se, mitä se pitää sisällään on usein vähemmän tunnettua.

Perustausta.

Laplace kuvitteli (Laplacen) demoninsa, joka tietäisi lopputulokset tuntemalla lait. Hän edusti tietyllä tavalla aikansa kuvaa: Mahdollisuus tietäminen tarkasti kaikesta korostui. Meteorologian allalla tähän liittyi John von Neumannin toiveet: Hän toivoi että datalla ja yhtälöillä voitaisiin tehdä täydellinen sääennustuskone. Siksi ajan hengessä ajatuksena ei ollutkaan pelkkä ennustaminen, vaan tavoitteena oli sään hallinta.

Meteorologiassa tämän toi esiin Edward Lorenz, joka huomasi että ennusteet muuttuivat jos ohjelmaan syötettiin likiarvoja. Pieni muutos vaikutti paljon. Tämä perhosefekti on kuvattu kansanomaisesti usein kuvauksella sitä, miten "perhosen siivenisku voisi aikaansaada myrskyn maapallon toisella puolella".

Tietenkään von Neumannkaan ei uskonut että ihmiset voisivat kerätä dataa niin täydellisesti että sää voitaisiin ennustaa täydellisesti menneisyyteen ja nykyisyyteen. Mutta alkuarvoherkkyys romahdutti näkemyksen "rajoista". Eli jos mittaustarkkuus oltaisiin tehty 0,1% tarkkuudella, tätä voitaisiin käyttää apuna ja saada erittäin tarkkoja tuloksia. Eli melko tarkalla saataisiin melko tarkkoja tuloksia. Mutta Lorenz näytti että näin ei tapahdu. "Mittausvirheet ikään kuin kasvavat korkoa ilmastosysteemissä".

Tietenkin jotkut asiat voidaan ennustaa juuri tällä tavalla. Esimerkiksi ihmiset pystyvät ennustamaan auringonpimennyksiä satojen vuosien ajalta tarkasti. Ja tarkemmalla mittaamisella näistä saadaan tarkempia tuloksia. Ja aurinkokunnassa on enemmän kuin Poincarén kolme kappaletta. Ero on siinä, että kaikki systeemit eivät ole tämänkaltaisia. Todellisuus on melko usein lähempänä sääennusteita kuin meidän aurinkokuntamme planeettojen ratoja. Monet radat ovat kompleksisia.

Mitkä ominaisuudet tekevät systeemistä kaaoottisen?

Monet kompleksiset systeemit ovat rakenteeltaan sellaisia että ne on helppo kuvata, mutta niissä on sellainen ominaisuus kuin alkuarvoherkkyys. Tämä on juuri sitä perhosefektin ominaisuutta, jossa pieni muutos alussa muuttaa tapahtumia paljon. Eli "jos teet pieniä muutoksia alkutilaan, sillä on suuria vaikutuksia lopputulokseen".

Esimerkiksi sääennusteet tekee alkuarvoherkiksi se, että siinä käytetään Navier-Stokesin yhtälötä. Ne ovat yksinkertaisia kaavoja jotka käsittelevät sovellettuna esimerkiksi sitä miten nesteet kulkevat ja ovat interaktiossa toistensa kanssa. ("Ne ovat näissä ihan hyvää fysiikkaa". Eli kaavat on valittu tieteen vuoksi, ei sen vuoksi että niiden kautta ennustaminen olisi vaikeaa tai kaaoottista..) Tässä on sellainen ominaisuus, että jos meillä on jokin systeemin tila, emme ovi sanoa miten virtaukset kulkevat jonkun pisteen läheisyydessä ilman että laskemme tuloksia muualta systeemistä liittyvillä pisteillä. "Kaikki vaikuttavat kaikkeen." Siksi ilmastoennusteita laadittaessa on valtava määrä pisteitä, joiden kautta lasketaan ennusteita yksittäisille pisteille. Ne toimivat lyhyillä ajoilla ihan hyvin. Tässä on kuitenkin ongelmana se, että jos teet pienen muutoksen, koko ennuste on dramaattisesti erilainen.

Tähän asti tämä lienee "ymmärrettävää, hieman uutta mutta kuitenkin sitä tuttua tavaraa". Sillä tämä osio on se, mitä jopa "Jurassic Park" kertoo. "Laita käden päälle vesipisara ja satunnainen auton tärinä tekee sen että et tiedä minne pisara tipahtaa". Toki tämä alkuarvoherkkyys on erittäin tärkeä osa siitä mikä tekee systeemistä kaaoottisen.

Mutta se ei ole ainut osa. Muut osat vain usein helposti unohdetaan.

Kokonaiskuvaan tarvitaan ainakin hieman topologiaa. Siinä mietitään sellaisia "tylsiä juttuja" kuten jatkuvuutta, raja-arvoja, mutta myös hauskoja asioita. Tässä kohden keskityn siihen että sen piirissä tutkitaan sitä, miten kappaleiden ominaisuudet muuttuvat tai eivät muutu, kun niitä venytetään ja väännellään (joka voi tarkoittaa myös "eri kulmasta katsomista".) Kun geometriassa tärkeää on pituus ja pinta -ala, topologia keskittyy muotoon. Kaaoottisilla systeemeillä on sellainen topologinen ominaisuus, topological mixing. Sen kuvaaminen on tietysti matemaattisesti hienostunutta, mutta tässä kohden riittää ymmärrettäväksi se, että sen topologiset ominaisuudet ovat sellaisia että olipa lähtöpisteesi mikä tahansa, niin ajan kuluessa voit päätyä oikeastaan aivan minne tahansa systeemiä. (Tämä liittyy siihen miten kaikki kohdat ovat toisiinsa liitoksissa.)

"Meille ehkä riittää" se, että topological mixingiä voidaan kuvata "hevosenkenkäkartalla": Otetaan kuutio ja venytetään se pitkäksi. Sitten taivutetaan se hevosenkengäksi. Ja sitten asetetaan se alkuperäiseen neliään siten että toinen osa on neliön ulkopuolella. Sitten iteroi tää kartta. Valtaosassa kaaoottisia dynaamisia systeemeitä itse asiassa on tälläinen "hevosenkenkä": Eli alue, joka on venytetty (josta seuraa herkkä riippuvuus Paikasta A pääsee nopeammin kaukaiseen paikkaan B) ja taivutettu (jonka seurauksena kaukana olevat pisteet "tulevat lähelle") ja jotka on sitten asetettu yhteen "alkuperäisen itsensä" kanssa.

Nämä kaksi eivät tietenkään vielä kuvaa kaaosta täydellisesti.

Kaaoottisilla systeemeillä on myös kolmas ominaisuus. Niissä on ominaisuus joka tekee niistä miltei toistuvia. Niissä on erikoislaatuisia kiertoratoja, dense periodic orbits : Eli niissä on itseään toistavia osia. Eli jos systeemi ohittaa alueen jonkun pisteen läheltä, se kulkee sen läheltä yydestaan. Se ei välttämättä toista kierrosta aivan sellaisenaan. Itse asiassa jos se toistaisi aina samanlaisia kiertoratoja, systeemi EI olisi kaaoottinen. Mutta se kulkee "melko läheltä kiertämistä". Tietyllä tavalla voidaan ajatella että kaaos on "milteikiertoratoja". Joku on piirtänyt ympyrät hieman huomimattomasti, ja siksi ympyrä ei ole sulkeutunut. Ja näitä on sitten laitettu yhteen.

Tätä kautta kaaoottinen systeemi ei ole suoraa kulkeva, lineaarinen tai sellaisenaan toistuva, syklinen. Se ei ole myöskään satunnainen: Se ei välttämättä edes sisällä "valintakohtaa", jossa yhdestä tilasta voisi siinä tilanteessa tulla joko A tai B. (Se ei ole "pakollisten ominaisuuksien listalla", eli deterministinenkin systeemi voi olla kaaoottinen.) Sen sijaan se on dynaaminen, "miltei toistuva" rata. Idean huomaa selvästi katsomalla kuvia kaaoottisista systeemeistä. (Esimerkiksi tuon linkin takaa.) Ne ovat usein melko esteettisesti kauniita. Niitä katsellessa huomaa että kyse ei ole selvistä toistuvista kiertoradoista, mutta ei satunnaisesta etenemisestäkään.

Sattuneista syistä kaasteoriaa esitetään "Kalle Kadunmiehelle" tiivistetysti. Tämä on tietysti OK, koska asiaan liittyy vaikeita käsitteitä ja laskentaa (jota ainakaan minä en hallitse mainittavasti.) Sen sijaan keskittyminen vain yhteen osa -alueeseen aina ja kerran toisensa jälkeen tuo helposti sellaisen kuvan, että "ymmärrä pala, ymmärrä koko juttu".