Kaaosteoria on saanut julkisuutta esimerkiksi "Jurassic Park" -elokuvassa. Muutenkin se tunnetaan nimeltä aika hyvin. Kuitenkin se, mitä se pitää sisällään on usein vähemmän tunnettua.
Perustausta.
Laplace kuvitteli (Laplacen) demoninsa, joka tietäisi lopputulokset tuntemalla lait. Hän edusti tietyllä tavalla aikansa kuvaa: Mahdollisuus tietäminen tarkasti kaikesta korostui. Meteorologian allalla tähän liittyi John von Neumannin toiveet: Hän toivoi että datalla ja yhtälöillä voitaisiin tehdä täydellinen sääennustuskone. Siksi ajan hengessä ajatuksena ei ollutkaan pelkkä ennustaminen, vaan tavoitteena oli sään hallinta.
Meteorologiassa tämän toi esiin Edward Lorenz, joka huomasi että ennusteet muuttuivat jos ohjelmaan syötettiin likiarvoja. Pieni muutos vaikutti paljon. Tämä perhosefekti on kuvattu kansanomaisesti usein kuvauksella sitä, miten "perhosen siivenisku voisi aikaansaada myrskyn maapallon toisella puolella".
Tietenkään von Neumannkaan ei uskonut että ihmiset voisivat kerätä dataa niin täydellisesti että sää voitaisiin ennustaa täydellisesti menneisyyteen ja nykyisyyteen. Mutta alkuarvoherkkyys romahdutti näkemyksen "rajoista". Eli jos mittaustarkkuus oltaisiin tehty 0,1% tarkkuudella, tätä voitaisiin käyttää apuna ja saada erittäin tarkkoja tuloksia. Eli melko tarkalla saataisiin melko tarkkoja tuloksia. Mutta Lorenz näytti että näin ei tapahdu. "Mittausvirheet ikään kuin kasvavat korkoa ilmastosysteemissä".
Tietenkin jotkut asiat voidaan ennustaa juuri tällä tavalla. Esimerkiksi ihmiset pystyvät ennustamaan auringonpimennyksiä satojen vuosien ajalta tarkasti. Ja tarkemmalla mittaamisella näistä saadaan tarkempia tuloksia. Ja aurinkokunnassa on enemmän kuin Poincarén kolme kappaletta. Ero on siinä, että kaikki systeemit eivät ole tämänkaltaisia. Todellisuus on melko usein lähempänä sääennusteita kuin meidän aurinkokuntamme planeettojen ratoja. Monet radat ovat kompleksisia.
Mitkä ominaisuudet tekevät systeemistä kaaoottisen?
Monet kompleksiset systeemit ovat rakenteeltaan sellaisia että ne on helppo kuvata, mutta niissä on sellainen ominaisuus kuin alkuarvoherkkyys. Tämä on juuri sitä perhosefektin ominaisuutta, jossa pieni muutos alussa muuttaa tapahtumia paljon. Eli "jos teet pieniä muutoksia alkutilaan, sillä on suuria vaikutuksia lopputulokseen".
Esimerkiksi sääennusteet tekee alkuarvoherkiksi se, että siinä käytetään Navier-Stokesin yhtälötä. Ne ovat yksinkertaisia kaavoja jotka käsittelevät sovellettuna esimerkiksi sitä miten nesteet kulkevat ja ovat interaktiossa toistensa kanssa. ("Ne ovat näissä ihan hyvää fysiikkaa". Eli kaavat on valittu tieteen vuoksi, ei sen vuoksi että niiden kautta ennustaminen olisi vaikeaa tai kaaoottista..) Tässä on sellainen ominaisuus, että jos meillä on jokin systeemin tila, emme ovi sanoa miten virtaukset kulkevat jonkun pisteen läheisyydessä ilman että laskemme tuloksia muualta systeemistä liittyvillä pisteillä. "Kaikki vaikuttavat kaikkeen." Siksi ilmastoennusteita laadittaessa on valtava määrä pisteitä, joiden kautta lasketaan ennusteita yksittäisille pisteille. Ne toimivat lyhyillä ajoilla ihan hyvin. Tässä on kuitenkin ongelmana se, että jos teet pienen muutoksen, koko ennuste on dramaattisesti erilainen.
Tähän asti tämä lienee "ymmärrettävää, hieman uutta mutta kuitenkin sitä tuttua tavaraa". Sillä tämä osio on se, mitä jopa "Jurassic Park" kertoo. "Laita käden päälle vesipisara ja satunnainen auton tärinä tekee sen että et tiedä minne pisara tipahtaa". Toki tämä alkuarvoherkkyys on erittäin tärkeä osa siitä mikä tekee systeemistä kaaoottisen.
Mutta se ei ole ainut osa. Muut osat vain usein helposti unohdetaan.
Kokonaiskuvaan tarvitaan ainakin hieman topologiaa. Siinä mietitään sellaisia "tylsiä juttuja" kuten jatkuvuutta, raja-arvoja, mutta myös hauskoja asioita. Tässä kohden keskityn siihen että sen piirissä tutkitaan sitä, miten kappaleiden ominaisuudet muuttuvat tai eivät muutu, kun niitä venytetään ja väännellään (joka voi tarkoittaa myös "eri kulmasta katsomista".) Kun geometriassa tärkeää on pituus ja pinta -ala, topologia keskittyy muotoon. Kaaoottisilla systeemeillä on sellainen topologinen ominaisuus, topological mixing. Sen kuvaaminen on tietysti matemaattisesti hienostunutta, mutta tässä kohden riittää ymmärrettäväksi se, että sen topologiset ominaisuudet ovat sellaisia että olipa lähtöpisteesi mikä tahansa, niin ajan kuluessa voit päätyä oikeastaan aivan minne tahansa systeemiä. (Tämä liittyy siihen miten kaikki kohdat ovat toisiinsa liitoksissa.)
"Meille ehkä riittää" se, että topological mixingiä voidaan kuvata "hevosenkenkäkartalla": Otetaan kuutio ja venytetään se pitkäksi. Sitten taivutetaan se hevosenkengäksi. Ja sitten asetetaan se alkuperäiseen neliään siten että toinen osa on neliön ulkopuolella. Sitten iteroi tää kartta. Valtaosassa kaaoottisia dynaamisia systeemeitä itse asiassa on tälläinen "hevosenkenkä": Eli alue, joka on venytetty (josta seuraa herkkä riippuvuus Paikasta A pääsee nopeammin kaukaiseen paikkaan B) ja taivutettu (jonka seurauksena kaukana olevat pisteet "tulevat lähelle") ja jotka on sitten asetettu yhteen "alkuperäisen itsensä" kanssa.
Nämä kaksi eivät tietenkään vielä kuvaa kaaosta täydellisesti.
Kaaoottisilla systeemeillä on myös kolmas ominaisuus. Niissä on ominaisuus joka tekee niistä miltei toistuvia. Niissä on erikoislaatuisia kiertoratoja, dense periodic orbits : Eli niissä on itseään toistavia osia. Eli jos systeemi ohittaa alueen jonkun pisteen läheltä, se kulkee sen läheltä yydestaan. Se ei välttämättä toista kierrosta aivan sellaisenaan. Itse asiassa jos se toistaisi aina samanlaisia kiertoratoja, systeemi EI olisi kaaoottinen. Mutta se kulkee "melko läheltä kiertämistä". Tietyllä tavalla voidaan ajatella että kaaos on "milteikiertoratoja". Joku on piirtänyt ympyrät hieman huomimattomasti, ja siksi ympyrä ei ole sulkeutunut. Ja näitä on sitten laitettu yhteen.
Tätä kautta kaaoottinen systeemi ei ole suoraa kulkeva, lineaarinen tai sellaisenaan toistuva, syklinen. Se ei ole myöskään satunnainen: Se ei välttämättä edes sisällä "valintakohtaa", jossa yhdestä tilasta voisi siinä tilanteessa tulla joko A tai B. (Se ei ole "pakollisten ominaisuuksien listalla", eli deterministinenkin systeemi voi olla kaaoottinen.) Sen sijaan se on dynaaminen, "miltei toistuva" rata. Idean huomaa selvästi katsomalla kuvia kaaoottisista systeemeistä. (Esimerkiksi tuon linkin takaa.) Ne ovat usein melko esteettisesti kauniita. Niitä katsellessa huomaa että kyse ei ole selvistä toistuvista kiertoradoista, mutta ei satunnaisesta etenemisestäkään.
Sattuneista syistä kaasteoriaa esitetään "Kalle Kadunmiehelle" tiivistetysti. Tämä on tietysti OK, koska asiaan liittyy vaikeita käsitteitä ja laskentaa (jota ainakaan minä en hallitse mainittavasti.) Sen sijaan keskittyminen vain yhteen osa -alueeseen aina ja kerran toisensa jälkeen tuo helposti sellaisen kuvan, että "ymmärrä pala, ymmärrä koko juttu".
Perustausta.
Laplace kuvitteli (Laplacen) demoninsa, joka tietäisi lopputulokset tuntemalla lait. Hän edusti tietyllä tavalla aikansa kuvaa: Mahdollisuus tietäminen tarkasti kaikesta korostui. Meteorologian allalla tähän liittyi John von Neumannin toiveet: Hän toivoi että datalla ja yhtälöillä voitaisiin tehdä täydellinen sääennustuskone. Siksi ajan hengessä ajatuksena ei ollutkaan pelkkä ennustaminen, vaan tavoitteena oli sään hallinta.
Meteorologiassa tämän toi esiin Edward Lorenz, joka huomasi että ennusteet muuttuivat jos ohjelmaan syötettiin likiarvoja. Pieni muutos vaikutti paljon. Tämä perhosefekti on kuvattu kansanomaisesti usein kuvauksella sitä, miten "perhosen siivenisku voisi aikaansaada myrskyn maapallon toisella puolella".
Tietenkään von Neumannkaan ei uskonut että ihmiset voisivat kerätä dataa niin täydellisesti että sää voitaisiin ennustaa täydellisesti menneisyyteen ja nykyisyyteen. Mutta alkuarvoherkkyys romahdutti näkemyksen "rajoista". Eli jos mittaustarkkuus oltaisiin tehty 0,1% tarkkuudella, tätä voitaisiin käyttää apuna ja saada erittäin tarkkoja tuloksia. Eli melko tarkalla saataisiin melko tarkkoja tuloksia. Mutta Lorenz näytti että näin ei tapahdu. "Mittausvirheet ikään kuin kasvavat korkoa ilmastosysteemissä".
Tietenkin jotkut asiat voidaan ennustaa juuri tällä tavalla. Esimerkiksi ihmiset pystyvät ennustamaan auringonpimennyksiä satojen vuosien ajalta tarkasti. Ja tarkemmalla mittaamisella näistä saadaan tarkempia tuloksia. Ja aurinkokunnassa on enemmän kuin Poincarén kolme kappaletta. Ero on siinä, että kaikki systeemit eivät ole tämänkaltaisia. Todellisuus on melko usein lähempänä sääennusteita kuin meidän aurinkokuntamme planeettojen ratoja. Monet radat ovat kompleksisia.
Mitkä ominaisuudet tekevät systeemistä kaaoottisen?
Monet kompleksiset systeemit ovat rakenteeltaan sellaisia että ne on helppo kuvata, mutta niissä on sellainen ominaisuus kuin alkuarvoherkkyys. Tämä on juuri sitä perhosefektin ominaisuutta, jossa pieni muutos alussa muuttaa tapahtumia paljon. Eli "jos teet pieniä muutoksia alkutilaan, sillä on suuria vaikutuksia lopputulokseen".
Esimerkiksi sääennusteet tekee alkuarvoherkiksi se, että siinä käytetään Navier-Stokesin yhtälötä. Ne ovat yksinkertaisia kaavoja jotka käsittelevät sovellettuna esimerkiksi sitä miten nesteet kulkevat ja ovat interaktiossa toistensa kanssa. ("Ne ovat näissä ihan hyvää fysiikkaa". Eli kaavat on valittu tieteen vuoksi, ei sen vuoksi että niiden kautta ennustaminen olisi vaikeaa tai kaaoottista..) Tässä on sellainen ominaisuus, että jos meillä on jokin systeemin tila, emme ovi sanoa miten virtaukset kulkevat jonkun pisteen läheisyydessä ilman että laskemme tuloksia muualta systeemistä liittyvillä pisteillä. "Kaikki vaikuttavat kaikkeen." Siksi ilmastoennusteita laadittaessa on valtava määrä pisteitä, joiden kautta lasketaan ennusteita yksittäisille pisteille. Ne toimivat lyhyillä ajoilla ihan hyvin. Tässä on kuitenkin ongelmana se, että jos teet pienen muutoksen, koko ennuste on dramaattisesti erilainen.
Tähän asti tämä lienee "ymmärrettävää, hieman uutta mutta kuitenkin sitä tuttua tavaraa". Sillä tämä osio on se, mitä jopa "Jurassic Park" kertoo. "Laita käden päälle vesipisara ja satunnainen auton tärinä tekee sen että et tiedä minne pisara tipahtaa". Toki tämä alkuarvoherkkyys on erittäin tärkeä osa siitä mikä tekee systeemistä kaaoottisen.
Mutta se ei ole ainut osa. Muut osat vain usein helposti unohdetaan.
Kokonaiskuvaan tarvitaan ainakin hieman topologiaa. Siinä mietitään sellaisia "tylsiä juttuja" kuten jatkuvuutta, raja-arvoja, mutta myös hauskoja asioita. Tässä kohden keskityn siihen että sen piirissä tutkitaan sitä, miten kappaleiden ominaisuudet muuttuvat tai eivät muutu, kun niitä venytetään ja väännellään (joka voi tarkoittaa myös "eri kulmasta katsomista".) Kun geometriassa tärkeää on pituus ja pinta -ala, topologia keskittyy muotoon. Kaaoottisilla systeemeillä on sellainen topologinen ominaisuus, topological mixing. Sen kuvaaminen on tietysti matemaattisesti hienostunutta, mutta tässä kohden riittää ymmärrettäväksi se, että sen topologiset ominaisuudet ovat sellaisia että olipa lähtöpisteesi mikä tahansa, niin ajan kuluessa voit päätyä oikeastaan aivan minne tahansa systeemiä. (Tämä liittyy siihen miten kaikki kohdat ovat toisiinsa liitoksissa.)
"Meille ehkä riittää" se, että topological mixingiä voidaan kuvata "hevosenkenkäkartalla": Otetaan kuutio ja venytetään se pitkäksi. Sitten taivutetaan se hevosenkengäksi. Ja sitten asetetaan se alkuperäiseen neliään siten että toinen osa on neliön ulkopuolella. Sitten iteroi tää kartta. Valtaosassa kaaoottisia dynaamisia systeemeitä itse asiassa on tälläinen "hevosenkenkä": Eli alue, joka on venytetty (josta seuraa herkkä riippuvuus Paikasta A pääsee nopeammin kaukaiseen paikkaan B) ja taivutettu (jonka seurauksena kaukana olevat pisteet "tulevat lähelle") ja jotka on sitten asetettu yhteen "alkuperäisen itsensä" kanssa.
Nämä kaksi eivät tietenkään vielä kuvaa kaaosta täydellisesti.
Kaaoottisilla systeemeillä on myös kolmas ominaisuus. Niissä on ominaisuus joka tekee niistä miltei toistuvia. Niissä on erikoislaatuisia kiertoratoja, dense periodic orbits : Eli niissä on itseään toistavia osia. Eli jos systeemi ohittaa alueen jonkun pisteen läheltä, se kulkee sen läheltä yydestaan. Se ei välttämättä toista kierrosta aivan sellaisenaan. Itse asiassa jos se toistaisi aina samanlaisia kiertoratoja, systeemi EI olisi kaaoottinen. Mutta se kulkee "melko läheltä kiertämistä". Tietyllä tavalla voidaan ajatella että kaaos on "milteikiertoratoja". Joku on piirtänyt ympyrät hieman huomimattomasti, ja siksi ympyrä ei ole sulkeutunut. Ja näitä on sitten laitettu yhteen.
Tätä kautta kaaoottinen systeemi ei ole suoraa kulkeva, lineaarinen tai sellaisenaan toistuva, syklinen. Se ei ole myöskään satunnainen: Se ei välttämättä edes sisällä "valintakohtaa", jossa yhdestä tilasta voisi siinä tilanteessa tulla joko A tai B. (Se ei ole "pakollisten ominaisuuksien listalla", eli deterministinenkin systeemi voi olla kaaoottinen.) Sen sijaan se on dynaaminen, "miltei toistuva" rata. Idean huomaa selvästi katsomalla kuvia kaaoottisista systeemeistä. (Esimerkiksi tuon linkin takaa.) Ne ovat usein melko esteettisesti kauniita. Niitä katsellessa huomaa että kyse ei ole selvistä toistuvista kiertoradoista, mutta ei satunnaisesta etenemisestäkään.
Sattuneista syistä kaasteoriaa esitetään "Kalle Kadunmiehelle" tiivistetysti. Tämä on tietysti OK, koska asiaan liittyy vaikeita käsitteitä ja laskentaa (jota ainakaan minä en hallitse mainittavasti.) Sen sijaan keskittyminen vain yhteen osa -alueeseen aina ja kerran toisensa jälkeen tuo helposti sellaisen kuvan, että "ymmärrä pala, ymmärrä koko juttu".
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti