Arkijärjellä ajatellen valtion verotus nähdään aika helposti ahneuden kautta. Tällöin syntyy tilanne, jossa ajatellaan että verottamisen tiukentaminen lisää valtion verotuloja. Tämä synnyttää tietysti haluja kontrolloida valtionahneutta ; Ajatuksena kun on, että jos veroja korottaa niin valtio saa paljon enemmän ja sitten kansalaisille jää paljon vähemmän. Tämänlainen nollasummapelimäinen ajatus on helppo.
Kuitenkin jo "Robin Hood" -tarinat näyttävät miten verotus tämänlaisella suoraviivaisella ahneudella ei toimi. Liian kova verotus estää ihmisten maanviljelyä, heillä ei ole pesämunaa mitä kasvattaa. Ja ihmiset rupeavat tekemään muuta kuin työtä - esimerkiksi alkavat kokoontumaan iloisten veikkojen kanssa metsään tekemään jotain muuta kuin tuottamaan verotettavaa joka ansaittuna vain livahtaisi valtion kassaan. On selvää että verotus on niin kovaa, että saadut verotulot eivät liene valtaisat.
Kuitenkin verotuksessa tunnetaan ilmiö nimeltä Lafferin käyrä. Se perustuu oletukseen, jonka mukaan valtio saa verotuloja siten, että veronkorotus ei aina tarkoitakaan lisää valtionkassaan. Ajatusta on helppo lähestyä ääripäistä ; Jos veroprosentti on 0, verotus ei tietysti rajoita toimia, mutta valtio ei saa tuloja. Jos veroprosentti on 100, tulonhankinta on turhaa ; Työtä tekemättä kenties kuolee nälkään mutta työtä tehden kuolee nälkään töitä tehden. Tuloja ei tule tekevän käteen. Näin verotulo on selvästi hyvin pieni ; Työtä tekisi vain muutama ihminen joka tekisi sitä muuten kuin taloudellisista intresseistä.
Näin voidaan kuvitella käyrä, jossa jossain on huippu, jonka kohdalla verotuksen korottaminen alkaakin vaikuttamaan haitallisesti. Siksi Ronald Reagan, kunnon konservatiivien tapaan verojen vihollinen, laskikin veroja viitaten siihen että näin valtion käyttöön saataisiin enemmän verotuloja.
Ongelmana on se, että Lafferin käyrä on ennen kaikkea yksinkertaistus. Sen huipun paikkaa ei itse asiassa tiedetä. Näin ollen, vaikka onkin lähes ilmiselvää että verotuksen tiukentaminen johtaa verotulojen pienentämiseen. Kysymys on vain, missä vaiheessa tämä tapahtuu. Toki ongelma ei ole niin dramaattinen, koska yleensä valtion tehtävänä on kerätä veroja "yleispalveluihin" kuten kouluihin ja muuhun tarpeelliseen, ei välttämättä niinkään maksimoida verovarojaan.
Syitä on useita ; Esimerkiksi taloussysteemi on hyvin dynaaminen ; Esimerkiksi valtion saamien verojen määrä riippuu myös työntekijöiden palkoista, joka taas riippuu työnantajien kilpailukyvystä, joka taas riippuu siitä miten paljon myynnille on kysyntää. Ja kysyntään vaikuttaa se, miten paljon palkkaa jää verojen jälkeen käteen. Tämä johtaa kausaaliseen takaisinkytkentään: verotus vaikuttaa verotukseen. Näin talouteen saadaan mukaan iteratiivista luonnetta. Systeemissä yhden elementin muuttaminen vaikuttaa moneen paikkaan, ja sama muutos ei siksi aikaansaa aina samaa muutosta kokonaisuuteen ; Jokin muu asia on eri tavoin. Tämä vihjaa esimerkiksi siihen että taloudessa syntyy kaaosteoriasta tuttuja ilmiöitä kuten alkuarvoherkkyyttä. (Ongelma on myös se, kuinka paljon näin käy.)
Lafferin käyrä on siksi hieman huono isäntä ; Se yliyksinkertaistaa monisäikeistä kokonaisuutta tarpeettomasti, eikä se siksi vastaa helposti kuvattavasti maailmaa. Se voi kuitenkin olla hyvä renki, ja sitä voidaan käyttää apuvälineenä esimerkiksi verosuunnittelussa.
Näytetään tekstit, joissa on tunniste alkuarvoherkkyys. Näytä kaikki tekstit
Näytetään tekstit, joissa on tunniste alkuarvoherkkyys. Näytä kaikki tekstit
torstai 21. huhtikuuta 2011
lauantai 8. elokuuta 2009
Mikä tekee kaaoottisen?
Kaaosteoria on saanut julkisuutta esimerkiksi "Jurassic Park" -elokuvassa. Muutenkin se tunnetaan nimeltä aika hyvin. Kuitenkin se, mitä se pitää sisällään on usein vähemmän tunnettua.
Perustausta.
Laplace kuvitteli (Laplacen) demoninsa, joka tietäisi lopputulokset tuntemalla lait. Hän edusti tietyllä tavalla aikansa kuvaa: Mahdollisuus tietäminen tarkasti kaikesta korostui. Meteorologian allalla tähän liittyi John von Neumannin toiveet: Hän toivoi että datalla ja yhtälöillä voitaisiin tehdä täydellinen sääennustuskone. Siksi ajan hengessä ajatuksena ei ollutkaan pelkkä ennustaminen, vaan tavoitteena oli sään hallinta.
Meteorologiassa tämän toi esiin Edward Lorenz, joka huomasi että ennusteet muuttuivat jos ohjelmaan syötettiin likiarvoja. Pieni muutos vaikutti paljon. Tämä perhosefekti on kuvattu kansanomaisesti usein kuvauksella sitä, miten "perhosen siivenisku voisi aikaansaada myrskyn maapallon toisella puolella".
Tietenkään von Neumannkaan ei uskonut että ihmiset voisivat kerätä dataa niin täydellisesti että sää voitaisiin ennustaa täydellisesti menneisyyteen ja nykyisyyteen. Mutta alkuarvoherkkyys romahdutti näkemyksen "rajoista". Eli jos mittaustarkkuus oltaisiin tehty 0,1% tarkkuudella, tätä voitaisiin käyttää apuna ja saada erittäin tarkkoja tuloksia. Eli melko tarkalla saataisiin melko tarkkoja tuloksia. Mutta Lorenz näytti että näin ei tapahdu. "Mittausvirheet ikään kuin kasvavat korkoa ilmastosysteemissä".
Tietenkin jotkut asiat voidaan ennustaa juuri tällä tavalla. Esimerkiksi ihmiset pystyvät ennustamaan auringonpimennyksiä satojen vuosien ajalta tarkasti. Ja tarkemmalla mittaamisella näistä saadaan tarkempia tuloksia. Ja aurinkokunnassa on enemmän kuin Poincarén kolme kappaletta. Ero on siinä, että kaikki systeemit eivät ole tämänkaltaisia. Todellisuus on melko usein lähempänä sääennusteita kuin meidän aurinkokuntamme planeettojen ratoja. Monet radat ovat kompleksisia.
Mitkä ominaisuudet tekevät systeemistä kaaoottisen?
Monet kompleksiset systeemit ovat rakenteeltaan sellaisia että ne on helppo kuvata, mutta niissä on sellainen ominaisuus kuin alkuarvoherkkyys. Tämä on juuri sitä perhosefektin ominaisuutta, jossa pieni muutos alussa muuttaa tapahtumia paljon. Eli "jos teet pieniä muutoksia alkutilaan, sillä on suuria vaikutuksia lopputulokseen".
Esimerkiksi sääennusteet tekee alkuarvoherkiksi se, että siinä käytetään Navier-Stokesin yhtälötä. Ne ovat yksinkertaisia kaavoja jotka käsittelevät sovellettuna esimerkiksi sitä miten nesteet kulkevat ja ovat interaktiossa toistensa kanssa. ("Ne ovat näissä ihan hyvää fysiikkaa". Eli kaavat on valittu tieteen vuoksi, ei sen vuoksi että niiden kautta ennustaminen olisi vaikeaa tai kaaoottista..) Tässä on sellainen ominaisuus, että jos meillä on jokin systeemin tila, emme ovi sanoa miten virtaukset kulkevat jonkun pisteen läheisyydessä ilman että laskemme tuloksia muualta systeemistä liittyvillä pisteillä. "Kaikki vaikuttavat kaikkeen." Siksi ilmastoennusteita laadittaessa on valtava määrä pisteitä, joiden kautta lasketaan ennusteita yksittäisille pisteille. Ne toimivat lyhyillä ajoilla ihan hyvin. Tässä on kuitenkin ongelmana se, että jos teet pienen muutoksen, koko ennuste on dramaattisesti erilainen.
Tähän asti tämä lienee "ymmärrettävää, hieman uutta mutta kuitenkin sitä tuttua tavaraa". Sillä tämä osio on se, mitä jopa "Jurassic Park" kertoo. "Laita käden päälle vesipisara ja satunnainen auton tärinä tekee sen että et tiedä minne pisara tipahtaa". Toki tämä alkuarvoherkkyys on erittäin tärkeä osa siitä mikä tekee systeemistä kaaoottisen.
Mutta se ei ole ainut osa. Muut osat vain usein helposti unohdetaan.
Kokonaiskuvaan tarvitaan ainakin hieman topologiaa. Siinä mietitään sellaisia "tylsiä juttuja" kuten jatkuvuutta, raja-arvoja, mutta myös hauskoja asioita. Tässä kohden keskityn siihen että sen piirissä tutkitaan sitä, miten kappaleiden ominaisuudet muuttuvat tai eivät muutu, kun niitä venytetään ja väännellään (joka voi tarkoittaa myös "eri kulmasta katsomista".) Kun geometriassa tärkeää on pituus ja pinta -ala, topologia keskittyy muotoon. Kaaoottisilla systeemeillä on sellainen topologinen ominaisuus, topological mixing. Sen kuvaaminen on tietysti matemaattisesti hienostunutta, mutta tässä kohden riittää ymmärrettäväksi se, että sen topologiset ominaisuudet ovat sellaisia että olipa lähtöpisteesi mikä tahansa, niin ajan kuluessa voit päätyä oikeastaan aivan minne tahansa systeemiä. (Tämä liittyy siihen miten kaikki kohdat ovat toisiinsa liitoksissa.)
"Meille ehkä riittää" se, että topological mixingiä voidaan kuvata "hevosenkenkäkartalla": Otetaan kuutio ja venytetään se pitkäksi. Sitten taivutetaan se hevosenkengäksi. Ja sitten asetetaan se alkuperäiseen neliään siten että toinen osa on neliön ulkopuolella. Sitten iteroi tää kartta. Valtaosassa kaaoottisia dynaamisia systeemeitä itse asiassa on tälläinen "hevosenkenkä": Eli alue, joka on venytetty (josta seuraa herkkä riippuvuus Paikasta A pääsee nopeammin kaukaiseen paikkaan B) ja taivutettu (jonka seurauksena kaukana olevat pisteet "tulevat lähelle") ja jotka on sitten asetettu yhteen "alkuperäisen itsensä" kanssa.
Nämä kaksi eivät tietenkään vielä kuvaa kaaosta täydellisesti.
Kaaoottisilla systeemeillä on myös kolmas ominaisuus. Niissä on ominaisuus joka tekee niistä miltei toistuvia. Niissä on erikoislaatuisia kiertoratoja, dense periodic orbits : Eli niissä on itseään toistavia osia. Eli jos systeemi ohittaa alueen jonkun pisteen läheltä, se kulkee sen läheltä yydestaan. Se ei välttämättä toista kierrosta aivan sellaisenaan. Itse asiassa jos se toistaisi aina samanlaisia kiertoratoja, systeemi EI olisi kaaoottinen. Mutta se kulkee "melko läheltä kiertämistä". Tietyllä tavalla voidaan ajatella että kaaos on "milteikiertoratoja". Joku on piirtänyt ympyrät hieman huomimattomasti, ja siksi ympyrä ei ole sulkeutunut. Ja näitä on sitten laitettu yhteen.
Tätä kautta kaaoottinen systeemi ei ole suoraa kulkeva, lineaarinen tai sellaisenaan toistuva, syklinen. Se ei ole myöskään satunnainen: Se ei välttämättä edes sisällä "valintakohtaa", jossa yhdestä tilasta voisi siinä tilanteessa tulla joko A tai B. (Se ei ole "pakollisten ominaisuuksien listalla", eli deterministinenkin systeemi voi olla kaaoottinen.) Sen sijaan se on dynaaminen, "miltei toistuva" rata. Idean huomaa selvästi katsomalla kuvia kaaoottisista systeemeistä. (Esimerkiksi tuon linkin takaa.) Ne ovat usein melko esteettisesti kauniita. Niitä katsellessa huomaa että kyse ei ole selvistä toistuvista kiertoradoista, mutta ei satunnaisesta etenemisestäkään.
Sattuneista syistä kaasteoriaa esitetään "Kalle Kadunmiehelle" tiivistetysti. Tämä on tietysti OK, koska asiaan liittyy vaikeita käsitteitä ja laskentaa (jota ainakaan minä en hallitse mainittavasti.) Sen sijaan keskittyminen vain yhteen osa -alueeseen aina ja kerran toisensa jälkeen tuo helposti sellaisen kuvan, että "ymmärrä pala, ymmärrä koko juttu".
Perustausta.
Laplace kuvitteli (Laplacen) demoninsa, joka tietäisi lopputulokset tuntemalla lait. Hän edusti tietyllä tavalla aikansa kuvaa: Mahdollisuus tietäminen tarkasti kaikesta korostui. Meteorologian allalla tähän liittyi John von Neumannin toiveet: Hän toivoi että datalla ja yhtälöillä voitaisiin tehdä täydellinen sääennustuskone. Siksi ajan hengessä ajatuksena ei ollutkaan pelkkä ennustaminen, vaan tavoitteena oli sään hallinta.
Meteorologiassa tämän toi esiin Edward Lorenz, joka huomasi että ennusteet muuttuivat jos ohjelmaan syötettiin likiarvoja. Pieni muutos vaikutti paljon. Tämä perhosefekti on kuvattu kansanomaisesti usein kuvauksella sitä, miten "perhosen siivenisku voisi aikaansaada myrskyn maapallon toisella puolella".
Tietenkään von Neumannkaan ei uskonut että ihmiset voisivat kerätä dataa niin täydellisesti että sää voitaisiin ennustaa täydellisesti menneisyyteen ja nykyisyyteen. Mutta alkuarvoherkkyys romahdutti näkemyksen "rajoista". Eli jos mittaustarkkuus oltaisiin tehty 0,1% tarkkuudella, tätä voitaisiin käyttää apuna ja saada erittäin tarkkoja tuloksia. Eli melko tarkalla saataisiin melko tarkkoja tuloksia. Mutta Lorenz näytti että näin ei tapahdu. "Mittausvirheet ikään kuin kasvavat korkoa ilmastosysteemissä".
Tietenkin jotkut asiat voidaan ennustaa juuri tällä tavalla. Esimerkiksi ihmiset pystyvät ennustamaan auringonpimennyksiä satojen vuosien ajalta tarkasti. Ja tarkemmalla mittaamisella näistä saadaan tarkempia tuloksia. Ja aurinkokunnassa on enemmän kuin Poincarén kolme kappaletta. Ero on siinä, että kaikki systeemit eivät ole tämänkaltaisia. Todellisuus on melko usein lähempänä sääennusteita kuin meidän aurinkokuntamme planeettojen ratoja. Monet radat ovat kompleksisia.
Mitkä ominaisuudet tekevät systeemistä kaaoottisen?
Monet kompleksiset systeemit ovat rakenteeltaan sellaisia että ne on helppo kuvata, mutta niissä on sellainen ominaisuus kuin alkuarvoherkkyys. Tämä on juuri sitä perhosefektin ominaisuutta, jossa pieni muutos alussa muuttaa tapahtumia paljon. Eli "jos teet pieniä muutoksia alkutilaan, sillä on suuria vaikutuksia lopputulokseen".
Esimerkiksi sääennusteet tekee alkuarvoherkiksi se, että siinä käytetään Navier-Stokesin yhtälötä. Ne ovat yksinkertaisia kaavoja jotka käsittelevät sovellettuna esimerkiksi sitä miten nesteet kulkevat ja ovat interaktiossa toistensa kanssa. ("Ne ovat näissä ihan hyvää fysiikkaa". Eli kaavat on valittu tieteen vuoksi, ei sen vuoksi että niiden kautta ennustaminen olisi vaikeaa tai kaaoottista..) Tässä on sellainen ominaisuus, että jos meillä on jokin systeemin tila, emme ovi sanoa miten virtaukset kulkevat jonkun pisteen läheisyydessä ilman että laskemme tuloksia muualta systeemistä liittyvillä pisteillä. "Kaikki vaikuttavat kaikkeen." Siksi ilmastoennusteita laadittaessa on valtava määrä pisteitä, joiden kautta lasketaan ennusteita yksittäisille pisteille. Ne toimivat lyhyillä ajoilla ihan hyvin. Tässä on kuitenkin ongelmana se, että jos teet pienen muutoksen, koko ennuste on dramaattisesti erilainen.
Tähän asti tämä lienee "ymmärrettävää, hieman uutta mutta kuitenkin sitä tuttua tavaraa". Sillä tämä osio on se, mitä jopa "Jurassic Park" kertoo. "Laita käden päälle vesipisara ja satunnainen auton tärinä tekee sen että et tiedä minne pisara tipahtaa". Toki tämä alkuarvoherkkyys on erittäin tärkeä osa siitä mikä tekee systeemistä kaaoottisen.
Mutta se ei ole ainut osa. Muut osat vain usein helposti unohdetaan.
Kokonaiskuvaan tarvitaan ainakin hieman topologiaa. Siinä mietitään sellaisia "tylsiä juttuja" kuten jatkuvuutta, raja-arvoja, mutta myös hauskoja asioita. Tässä kohden keskityn siihen että sen piirissä tutkitaan sitä, miten kappaleiden ominaisuudet muuttuvat tai eivät muutu, kun niitä venytetään ja väännellään (joka voi tarkoittaa myös "eri kulmasta katsomista".) Kun geometriassa tärkeää on pituus ja pinta -ala, topologia keskittyy muotoon. Kaaoottisilla systeemeillä on sellainen topologinen ominaisuus, topological mixing. Sen kuvaaminen on tietysti matemaattisesti hienostunutta, mutta tässä kohden riittää ymmärrettäväksi se, että sen topologiset ominaisuudet ovat sellaisia että olipa lähtöpisteesi mikä tahansa, niin ajan kuluessa voit päätyä oikeastaan aivan minne tahansa systeemiä. (Tämä liittyy siihen miten kaikki kohdat ovat toisiinsa liitoksissa.)
"Meille ehkä riittää" se, että topological mixingiä voidaan kuvata "hevosenkenkäkartalla": Otetaan kuutio ja venytetään se pitkäksi. Sitten taivutetaan se hevosenkengäksi. Ja sitten asetetaan se alkuperäiseen neliään siten että toinen osa on neliön ulkopuolella. Sitten iteroi tää kartta. Valtaosassa kaaoottisia dynaamisia systeemeitä itse asiassa on tälläinen "hevosenkenkä": Eli alue, joka on venytetty (josta seuraa herkkä riippuvuus Paikasta A pääsee nopeammin kaukaiseen paikkaan B) ja taivutettu (jonka seurauksena kaukana olevat pisteet "tulevat lähelle") ja jotka on sitten asetettu yhteen "alkuperäisen itsensä" kanssa.
Nämä kaksi eivät tietenkään vielä kuvaa kaaosta täydellisesti.
Kaaoottisilla systeemeillä on myös kolmas ominaisuus. Niissä on ominaisuus joka tekee niistä miltei toistuvia. Niissä on erikoislaatuisia kiertoratoja, dense periodic orbits : Eli niissä on itseään toistavia osia. Eli jos systeemi ohittaa alueen jonkun pisteen läheltä, se kulkee sen läheltä yydestaan. Se ei välttämättä toista kierrosta aivan sellaisenaan. Itse asiassa jos se toistaisi aina samanlaisia kiertoratoja, systeemi EI olisi kaaoottinen. Mutta se kulkee "melko läheltä kiertämistä". Tietyllä tavalla voidaan ajatella että kaaos on "milteikiertoratoja". Joku on piirtänyt ympyrät hieman huomimattomasti, ja siksi ympyrä ei ole sulkeutunut. Ja näitä on sitten laitettu yhteen.
Tätä kautta kaaoottinen systeemi ei ole suoraa kulkeva, lineaarinen tai sellaisenaan toistuva, syklinen. Se ei ole myöskään satunnainen: Se ei välttämättä edes sisällä "valintakohtaa", jossa yhdestä tilasta voisi siinä tilanteessa tulla joko A tai B. (Se ei ole "pakollisten ominaisuuksien listalla", eli deterministinenkin systeemi voi olla kaaoottinen.) Sen sijaan se on dynaaminen, "miltei toistuva" rata. Idean huomaa selvästi katsomalla kuvia kaaoottisista systeemeistä. (Esimerkiksi tuon linkin takaa.) Ne ovat usein melko esteettisesti kauniita. Niitä katsellessa huomaa että kyse ei ole selvistä toistuvista kiertoradoista, mutta ei satunnaisesta etenemisestäkään.
Sattuneista syistä kaasteoriaa esitetään "Kalle Kadunmiehelle" tiivistetysti. Tämä on tietysti OK, koska asiaan liittyy vaikeita käsitteitä ja laskentaa (jota ainakaan minä en hallitse mainittavasti.) Sen sijaan keskittyminen vain yhteen osa -alueeseen aina ja kerran toisensa jälkeen tuo helposti sellaisen kuvan, että "ymmärrä pala, ymmärrä koko juttu".
tiistai 14. lokakuuta 2008
Lorenzin perhostarhassa
Tietokoneohjelmissa, kuten BASICissa on "satunnaislukuja" tuottava generaattori, joka on itse asiassa luonteeltaan täysin deterministinen, eli tulos vain näyttää satunnaiselta. Niissä on epälineaarinen yhtälö, joka tuottaa tuloksen annetulla syötteellä. Kun tietokone laskee, voisit tehdä täsmälleen saman laskutoimitukset ja saada täsmälleen samat tulokset. Lähtötilasta saa helposti lopputuloksen, jos on toiminnan kaava. Mutta jos sinulla on annetut tulokset, niistä on vaikeampaa laskea se, minkä numeron annoit syötteelle aluksi. Ilman kaavaa tämä on deterministisä kaaosta, joka näyttää ulos päin satunnaiselta (sen algoritminen kompleksisuus on siis suuri). Tässä tapauksessa alkutila ja kaava on tarkempi kuin lopputulos ja kaava. Eteenpäin ennustaminen on helpompaa. Verrattavissa vaikkapa siihen, että kun laitat jääpalan lasiin ja huoneenlämpöön, tiedät että siitä tulee nestettä jossa on tietty pinnankorkeus. Mutta jos sinulla on lasi vettä, et enää osaa pelkästään sen nojalla sanoa oliko jääpala neliönmuotoinen vai vaikkapa joutseneksi muotoiltu. (Toki tiedät sen tilavuuden.) Luonnonilmiöissä osataan ennustaa joitain tapahtumia etukäteen pitkällekin. Esimerkiksi osataan laskea milloin Andromedan galaksi sulautuu linnunradan galaksin kanssa, milloin aurinko sammuu ja mitä auringolle tapahtuu kun se muuttuu ajan kanssa. Samoin tiedetään maan rata auringon ympäri melko suurella tarkkuudella ja ajalla. Tammikuun keskilämpätila Suomessakaan ei ole satunnainen ja se voidaan ennustaa vuosienkin päähän melkoisen hyvin, samoin kuin vaikka Amazonjoen virtaamaa voidaan arvioida 20 vuoden ajalta.
Mutta tulevaisuuden ennustaminen ei läheskään aina ole helpompaa kuin menneisyyteen ennustaminen. Dynaamisissa systeemeissä se on vaikeampaa.
Edward Lorenz eli aikana, jolloin uskottiin että sääennusteita voitaisiin tehdä tarkasti. Että tulevaisuudessa - eikä niin kaukaisessakaan - kysymys ei ollut niinkään sään ennustamisesta, vaan hallitsemisesta. (Vasta ennuskyky antaa oikean kyvyn arvioida mitä käy kun manipuloimme luontoa mitenkin, tieto on todellakin valtaa. Ja valta vapautta, ja vapaus vastuuta.) Lorenz tekikin sääohjelman ja pyöritti sitä. Hän tallensi tulokset. Myöhemmin hän yritti toistaa sitä, mutta ongelmana oli se, että hän oli ottanut lähtötilan vain tietyn monen desimaalin tarkkuudella, likiarvona. Kun ohjelma pyöritettiin uudestaan, tulos oli aivan erilainen. Häviävän pieni ero alkutilassa johti valtaviin eroihin, vaikka kaavassa ei ollut satunnaisuutta, tätä kutsutaan alkuarvoherkkyydeksi. Pienet erot johtavat suuriin eroihin. Tätä arkijärkeistää niin kutsuttu perhosefekti, joka perustuu vertaukselle siitä kuinka perhosen siiveniskut toisella puolella maailmaa voivat alkuarvoherkässä systeemissä olla se syy joka on aikaansaanut hurrikaanin toisella puolella maailmaa.
Alkuarvoherkkyyden vaikutus on mahtava, kun ajatellaan esimerkiksi tilannetta, jossa meillä on pallon muotoinen seinä laatikossa. Laitamme siihen pallon kimpoilemaan. Mittaustarkkuus sallii muutaman kimpoamisen laskemisen, mutta se vaikeutuu koko ajan - ja itse asiassa valtavasti. (Pallopinnasta kimpoaminen johtaa erojen kasautumiseen.) Käytännössä pian joudutaan ottamaan heittäjän massa huomioon, samoin kalustus, ja näitä elementtejä pitää osata arvioida. Jos kuviteltaisiin että pallo kimpoilisi tässä koelaatikossa kauemmin, alkuarvot täytyisi tuntea uskomattoman suurella tarkkuudella - ja jos laatikko olisi reaalimaailmassa jouduttaisiin ottamaan koko universumin joka ikisen hiukkasen paikka huomioon. Ja koska pallon kimpoillessa myös maailma muuttuu, olisi näiden muutokset otettava huomioon. (Niiden aiheuttama pieni ero olisi kuitenkin erojen kertautuessa kertautumisen jälkeen sellaisia että ne näkyisivät paljainkin silmin.) Laatikon tapahtumien ennustaminen ei siis ole pitkässä tähtäimessä yhtään yksinkertaisempi asia kuin koko universumin toiminnan käsittely. Ja tässä ei ole vielä leikitelty millään kvanttimaailman satunnaisilmiöillä ja näiden vaikuttamisilla, ei millään muullakaan indeterminismillä. Eikä pallolla ole vapaata tahtoa. Maagisperustaiset ihmeet ovat right out. (Mutta ne ovat kyllä muutenkin.)
Ihmisten kanssa toimiminen on onneksi helpompaa. Daniel Dennett on korostanut kuinka ihminen on sosiaalinen tulevaisuuden ennustaja. Kun menen nakkikioskille esittämään "taktisia lauseita", tiedän että minua lyödään erittäin suurella todennäköisyydellä. (Miksi minulla on aina näin aggressiivisia esimerkkejä, voi joku kysyä.) Monet ennustavat myös parisuhteidensa jatkuvan vuosia. Kun tapaan ihmisiä, he kertovat että perusluonteeni ei ole juurikaan muuttunut. Olen siis - omalla eriskummallisella tavallani - ennustettava.
Kuitenkaan kaikki ihmistenkin systeemit eivät ole ymmärrettäviä : Esimerkiksi tuore talouskriisi näyttää, että maailma ei ole kovin yksinkertainen, siitä huolimatta onko se indeterministinen vai deterministinen, se on joka tapauksessa alkuarvoherkkä, dynaaminen. Sanotaan suoraan "kaaoottinen". Esimerkiksi jos pörssikeinottelija ilmoittaa, että pörssikurssit ovat menemässä huonoon suuntaan, kaikki jotka uskovat häntä, myyvät osakkeitaan eivätkä halua ostaa niitä. Ennustuksesta tulee itseääntoteuttava. (Itse asiassa kun systeemi toistaa itseään, eli edellisen lopputuloksesta tehdään uuden kierroksen syötä, alkuarvoherkkyys kasvaa, vaikka kyseessä ei olisi satunnainen tai valinnanvapauteen liittyvä ilmiö.) Eli jo pörssin tarkkailu ja sen tulokset voivat vaikuttaa pörssiin.(Kvanttifysiikassa on vallalla hieman samanlainen teoria, tarkkailu vaikuttaa tuloksiin.) Tämä tekee tilanteesta mutkikkaan. Etenkin kun aina tarkkailijan sanomisia ei oteta tosissaan eikä niitä uskota..
Siksi pörssissä selitykset keksitäänkin helpommin jälkikäteen. Ne on kerrottavissa vasta tapahtumisen jälkeen. (Mikä ei tarkoita että ne olisivat vääriä.) Tietenkin, sääennustamisessakin voidaan ennustaa lämpätiloja koska säähän vaikuttaa paljon suuntaavasti muun muassa maan suhde aurinkoon - eli aurinko tuo kaaokseen stabiloivan voiman, joka johtaa siihen että tammikuussa ei ole hellettä. Samoin ilmastonmuutksen suuntaa ja määrää voidaan ainakin jossain määrin arvioida laskelmissa, pidemmän linjan skaaloja voidaan nähdä.
Eikä talouskriisikään syntynyt sekunnin nano -osissa, siitä pyöri huhuja jo etukäteen. Sitä ei ehkä osattu ennustaa -saati ajoittaa vielä kaksi vuotta sitten, tai edes puolta vuotta sitten. Mutta ei se silti aivan kaapista tullut. Mutta jos joku tekee tarkkoja viisivuotissuunnitelmia pörssikursseihin, joissa ei tälläistä stabiloivaa voimaa ole, niin ei käy kateeksi: Tutkittavana on hyperkompleksinen kohde. Paitsi tietenkin käy kateeksi, jos työtä ei tarvitse tehdä hyvin ja siinä tienaa samalla hyvin. Mikäs siinä sitten olisikaan vikana?
Mutta tulevaisuuden ennustaminen ei läheskään aina ole helpompaa kuin menneisyyteen ennustaminen. Dynaamisissa systeemeissä se on vaikeampaa.
Edward Lorenz eli aikana, jolloin uskottiin että sääennusteita voitaisiin tehdä tarkasti. Että tulevaisuudessa - eikä niin kaukaisessakaan - kysymys ei ollut niinkään sään ennustamisesta, vaan hallitsemisesta. (Vasta ennuskyky antaa oikean kyvyn arvioida mitä käy kun manipuloimme luontoa mitenkin, tieto on todellakin valtaa. Ja valta vapautta, ja vapaus vastuuta.) Lorenz tekikin sääohjelman ja pyöritti sitä. Hän tallensi tulokset. Myöhemmin hän yritti toistaa sitä, mutta ongelmana oli se, että hän oli ottanut lähtötilan vain tietyn monen desimaalin tarkkuudella, likiarvona. Kun ohjelma pyöritettiin uudestaan, tulos oli aivan erilainen. Häviävän pieni ero alkutilassa johti valtaviin eroihin, vaikka kaavassa ei ollut satunnaisuutta, tätä kutsutaan alkuarvoherkkyydeksi. Pienet erot johtavat suuriin eroihin. Tätä arkijärkeistää niin kutsuttu perhosefekti, joka perustuu vertaukselle siitä kuinka perhosen siiveniskut toisella puolella maailmaa voivat alkuarvoherkässä systeemissä olla se syy joka on aikaansaanut hurrikaanin toisella puolella maailmaa.
Alkuarvoherkkyyden vaikutus on mahtava, kun ajatellaan esimerkiksi tilannetta, jossa meillä on pallon muotoinen seinä laatikossa. Laitamme siihen pallon kimpoilemaan. Mittaustarkkuus sallii muutaman kimpoamisen laskemisen, mutta se vaikeutuu koko ajan - ja itse asiassa valtavasti. (Pallopinnasta kimpoaminen johtaa erojen kasautumiseen.) Käytännössä pian joudutaan ottamaan heittäjän massa huomioon, samoin kalustus, ja näitä elementtejä pitää osata arvioida. Jos kuviteltaisiin että pallo kimpoilisi tässä koelaatikossa kauemmin, alkuarvot täytyisi tuntea uskomattoman suurella tarkkuudella - ja jos laatikko olisi reaalimaailmassa jouduttaisiin ottamaan koko universumin joka ikisen hiukkasen paikka huomioon. Ja koska pallon kimpoillessa myös maailma muuttuu, olisi näiden muutokset otettava huomioon. (Niiden aiheuttama pieni ero olisi kuitenkin erojen kertautuessa kertautumisen jälkeen sellaisia että ne näkyisivät paljainkin silmin.) Laatikon tapahtumien ennustaminen ei siis ole pitkässä tähtäimessä yhtään yksinkertaisempi asia kuin koko universumin toiminnan käsittely. Ja tässä ei ole vielä leikitelty millään kvanttimaailman satunnaisilmiöillä ja näiden vaikuttamisilla, ei millään muullakaan indeterminismillä. Eikä pallolla ole vapaata tahtoa. Maagisperustaiset ihmeet ovat right out. (Mutta ne ovat kyllä muutenkin.)
Ihmisten kanssa toimiminen on onneksi helpompaa. Daniel Dennett on korostanut kuinka ihminen on sosiaalinen tulevaisuuden ennustaja. Kun menen nakkikioskille esittämään "taktisia lauseita", tiedän että minua lyödään erittäin suurella todennäköisyydellä. (Miksi minulla on aina näin aggressiivisia esimerkkejä, voi joku kysyä.) Monet ennustavat myös parisuhteidensa jatkuvan vuosia. Kun tapaan ihmisiä, he kertovat että perusluonteeni ei ole juurikaan muuttunut. Olen siis - omalla eriskummallisella tavallani - ennustettava.
Kuitenkaan kaikki ihmistenkin systeemit eivät ole ymmärrettäviä : Esimerkiksi tuore talouskriisi näyttää, että maailma ei ole kovin yksinkertainen, siitä huolimatta onko se indeterministinen vai deterministinen, se on joka tapauksessa alkuarvoherkkä, dynaaminen. Sanotaan suoraan "kaaoottinen". Esimerkiksi jos pörssikeinottelija ilmoittaa, että pörssikurssit ovat menemässä huonoon suuntaan, kaikki jotka uskovat häntä, myyvät osakkeitaan eivätkä halua ostaa niitä. Ennustuksesta tulee itseääntoteuttava. (Itse asiassa kun systeemi toistaa itseään, eli edellisen lopputuloksesta tehdään uuden kierroksen syötä, alkuarvoherkkyys kasvaa, vaikka kyseessä ei olisi satunnainen tai valinnanvapauteen liittyvä ilmiö.) Eli jo pörssin tarkkailu ja sen tulokset voivat vaikuttaa pörssiin.(Kvanttifysiikassa on vallalla hieman samanlainen teoria, tarkkailu vaikuttaa tuloksiin.) Tämä tekee tilanteesta mutkikkaan. Etenkin kun aina tarkkailijan sanomisia ei oteta tosissaan eikä niitä uskota..
Siksi pörssissä selitykset keksitäänkin helpommin jälkikäteen. Ne on kerrottavissa vasta tapahtumisen jälkeen. (Mikä ei tarkoita että ne olisivat vääriä.) Tietenkin, sääennustamisessakin voidaan ennustaa lämpätiloja koska säähän vaikuttaa paljon suuntaavasti muun muassa maan suhde aurinkoon - eli aurinko tuo kaaokseen stabiloivan voiman, joka johtaa siihen että tammikuussa ei ole hellettä. Samoin ilmastonmuutksen suuntaa ja määrää voidaan ainakin jossain määrin arvioida laskelmissa, pidemmän linjan skaaloja voidaan nähdä.
Eikä talouskriisikään syntynyt sekunnin nano -osissa, siitä pyöri huhuja jo etukäteen. Sitä ei ehkä osattu ennustaa -saati ajoittaa vielä kaksi vuotta sitten, tai edes puolta vuotta sitten. Mutta ei se silti aivan kaapista tullut. Mutta jos joku tekee tarkkoja viisivuotissuunnitelmia pörssikursseihin, joissa ei tälläistä stabiloivaa voimaa ole, niin ei käy kateeksi: Tutkittavana on hyperkompleksinen kohde. Paitsi tietenkin käy kateeksi, jos työtä ei tarvitse tehdä hyvin ja siinä tienaa samalla hyvin. Mikäs siinä sitten olisikaan vikana?
Tilaa:
Blogitekstit (Atom)