Tämä on tarpeen, sillä arkijärjen kautta ei ole tavatonta kohdata tilannetta jossa nollalla jakaminen yhdistetään usein äärettömään. Esimerkiksi esitetään että 1/0 = ∞.
Hikiopiston käynyt saattaa kenties tiedostaa että sekaannus on selviö. Hän voi huomata, että 1/0 ei ole ääretön. Itse asiassa 1/0 ei ole määritelty meidän vallitsevassa numerojärjestelmässämme. Matemaattisesti se on merkityksetön ilmaisu. Se, että siinä on numeroita ja jakomerkkejä ei tee siitä matemaattista.
Toki tässä kohden on hyvä täsmentää että hämäännys ei kerro paljoa. On kuitenkin kohtuullisen helppoa selittää myös se, miksi 1/0 ei ole määritelty ja miten ääretön ei ole numero. ; Hikiopisto opettaa lähinnä sen että jos ääretöntä käyttää numerona, jotenkin perustavanlaatuisesti rikot sen miten aritmetiikka toimii. Syy tähän on siinä että matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. Moni ottaa matematiikan ulkoa opeteltavina kaavoina jossa todellisuus ikään kuin vahvistaa että 1+1=2. Intuitio ei kuitenkaan ole sama kuin aksioomien käsittely matemaattisesti.
Äärettömän numerouden kohdalla on käsitettävä mitä tarkoittaa että jokin on numero. Jos otetaan esille yksinkertaisin asia, luonnolliset luvut, kyseessä on Peanon aksioomia noudattava järjestelmä. Näiden aksioomien rikkominen rikkoo luonnollisilla luvuilla tehtävät laskelmat. Aksioomajoukko määrittelee luonnolliset numerot ja kaikki se miten luonnolliset luvut toimivat ovat seurausta näistä aksioomista. Matematiikka on tietyssä mielessä juuri taitoa yhdistää ja soveltaa näitä aksioomia ja tehdä niistä "eräänlaisia johdoksia".
Äärettömän kannalta hikiopiston ihmeellisyydet onnistuvat sillä että Peanon aksioomissa jokainen luonnollinen luku on sellainen että sille on yksi seuraava numero, ja tämä numero on kokonaisluvun verran suurempi. ∞+1 = ∞ joten ääretön ei ole luonnollinen luku. Äärettömän käsittely luonnollisena lukuna rikkoo Peanon aksioomaa vastaan ja siksi jos ääretöntä käyttää numerona, matemaattiset laskelmat menevät rikki. Et voi esimerkiksi samanaikaisesti väittää että 1+1=2 ja että ääretön on luonnollinen luku (joka on aksioomana jos ääretöntä käyttää kuin luonnollista lukua. Ette usko vai?
Koska matematiikassa tiedetään että jos x=y, niin x+z=y+z. Olkoot z=∞, näinhän voidaan tehdä jos ääretön on numero. Ja koska tiedämme että ∞+1+1 = ∞ + 2 voimme esittää että ∞+1 = ∞, joten ∞+1 = ∞+2. Koska ääretön on numero voimme poistaa ∞ molemmilta puolilta ja jäljelle jäävä osuus on validisti 1=2. Matemaattiset säännöt kieltävät ∞ poiston juuri siksi että ääretön ei ole numero. Mutta jos ja vain ääretön on numero, niin voidaan tehdä laskelma 1/0=∞, ja jos tämä on validia matematiikkaa niin tottakai voit poistaa numeron molemmilta puolilta. Ääretöntä koskevat rajoiteet ovat matematiikassa tunnettuja, ja niiden taustasyy on juuri se, että jos ääretön olisi numero, lukuteoria menisi tyystin rikki.
Toki ylläoleva on hyvin suppeaa matematiikkaa. En oikeasti osoittanut että ääretön ei olisi jonkinlainen muunlainen numero. Numeroita kun on muitakin kuin luonnollisia lukuja. Usein Peanon aksioomia käytetään lähtökohtana, mutta jos meillä on jokin muu malli, niissäkin käytetään aksioomista koostuvaa konstruktiota. Ja aksioomajoukko määrittelee kyseisen lukujärjestelmän ominaisuudet. Ja voidaan sanoa että katsottiimpa rationaalilukuja, reaalilukuja, kompleksilukuja tai mitä tahansa, ne kaikki ovat kohdanneet saman ongelman ; Jos ääretön on numero, ne menevät rikki. Ja seuraus tästä ei ole mitään kevyttä teoreettista leikkiä, vaan sen seuraus ei ole vähempi kuin se,e ttä kaikki mitä tehdään matematiikassa kaatuu. Matemaattiset todistuskset menettävät todistusvoimansa, kaikki laskelmat menettävät merkityksensä.
Äärettömän kohdalla on tietysti paljon mutkikkuuksia, mutta sitä voidaan kuitenkin käyttää. Esimerkiksi raja-arvoissa ei ole ollenkaan epätavanomaista törmätä ajatukseen jossa limx→∞1/x=∞. Tämä näyttää vihjaavan juuri siihen että 1/0 olisi ääretön. Tämä johtuu siitä että raja-arvot eivät oikeastaan puhu numeroista (numbers), ne kuvaavat käyriä (curves). Joillain raja-arvoilla on trendi kohti numeroa, toisilla ei ole minkäänlaista trendiä ja jotkut lähestyvät ääretöntä. Tässä mielessä asiaa voisi valaista puujalkavitsillä jossa matemaatikko ja fyysikko laitetaan kohtaamaan Zenonin paradoksi jossa matka kuljetaan ensin puoliväliin ja sitten uudestaan puoliväliin. Kohteena on kaunis nainen. Matemaatikko kävelee pois, koska hän ei voisi oikeasti koskaan saavuttaa naista. Fyysikko sen sijaan lähestyy asiaa siten, että tällä ei ole väliä koska hän pääsee varsin pian "käytännölliselle etäisyydelle" jossa hän voi tehdä mitä sitten haluaakin. Raja-arvojen kohdalla asia on hieman samoin, mutta kaikki ovat matemaatikkoja. (Raja-arvoja soveltava lähestymistapa on fyysikon tapa, eli vitsin ja matematiikan yhteys on se, että "fyysikot ovat matemaatikkoja ja matemaatikoissa on fyysikkoja".)
Jos me mietimme käyrää y=1/x kyseessä on melko yksinkertainen kaava. Voimme seurata kaavaa x kasvaessa miten suureksi tahansa. Tämä on jopa hyvin mielekästä. Mutta mitä luvulle tapahtuu kun se lähestyy 0 on matemaattisesti eri asia kuin miettiä mitä tapahtuu kun se päätyy nollaan. Matemaatikot kuvaavat asiaa siten että niin kauan kuin x≥0, niin limx→0 ; 1/x=+∞. Ja jos jos x≤0, niin limx→0 ; 1/x=-∞. Ei selvästi puhuta numerosta vaan suunnasta. Käyrä lähestyy ääretöntä tai miinus ääretöntä, se ei vain saavuta ääretöntä. Ääretöntä siis käytetään, se on matemaattinen käsite joka liittyy numeroihin, mutta se ei ole numero.
Ääretön on toki siitä mielenkiintoinen, että sillä on joitain hyvin omituisia ominaisuuksia juuri sen vuoksi että se ei ole numero. Matemaatikkojen piirissä on eräs "hulluuden luokka" joka on matemaatikoille samaa mitä ikiliikkujien keksiminen on fyysikoille. Tämä on Georg Cantorin äärettömyyslaskelmien kritisointi. Cantorin perustodistus kun johti erikoiseen tilanteeseen jossa irrationaalilukujen määrä on suurempi kuin rationaalilukujen määrä. Molempien koko on ääretön, joten matematiikassa olisi siis keskenään erisuuruisia äärettömiä. Tämä on niin epäintuitiivista että moni ikään kuin väen väkisin yrittää keksiä miksi Cantorin todistus on väärässä. Yleensä laskelmat muistuttavat tässä kohden jotenkin hikiopiston "uutta matematiikkaa".
Sen sijaan käsittääkseni astetta vakavammin otettava on "Tieteen kuvalehti 5/2014" esiintyvä Doron Zeilbergin esitys, jossa hän yrittää rakentaa matematiikkaa jossa ääretöntä ei ole käytössä ollenkaan. Sen korvaajaksi ehdotetaan suurinta mahdollista numeroa N0 jonka jälkeen numerot alkavat uudestaan alusta. Äärettömyyden kohdalla kysymys on siitä että se on symboli. Ääretöntä lähestytään aksiomaattisesti, kuten kaikkea matematiikassa. Kiista on toki johtanut hyvinkin suuriin kinoihin, mutta päähuomioksi kannattaisi kenties heittää sellainen huomio, että ei ole olemassa yhtä matematiikkaa. Matemaattisilla perusteluilla on aina jokin konteksti. Zeilbergin kohdalla kysymys on siitä että hyvin paljon asioita matematiikassa pitää määritellä uusiksi, eli matematiikka pitää hyvin pitkälle aksiomatisoida uudestaan ja eri tavalla. Näin ollen asioilla on lähinnä erilainen konteksti.
Esimerkiksi Peanon aksioomat ovat osa yhdenlaisen kontekstin luomista. Ja nämä eivät kaikki "päde samanaikaisesti". Esimerkiksi geometriassa on olemassa euklidinen geometria ja epäeuklidinen geometria. Ja kontekstin (aksioomajoukon) valinta vaihtaa sen päteekö paralleeliaksiooma vai ei.
Kontekstien relevanssista on sitten käyty paljon keskustelua eikä Zeilbergin nostama kohu ole suinkaan matematiikan maailmassa ensimmäinen. Taiteilijanimi Lewis Carroll oli matemaatikko joka kirjoitti "Liisan seikkailut ihmemaassa" -teoksen siksi että hänestä matematiikka joka käsitteli kompleksilukuja ei ollut järkevien ihmisten matematiikkaa. Lasten satumaa jossa tapahtuu irrationaalisia asioita ei kuvaa huumeidenkäyttöä, vaan maailmaa joka noudattaisi "uuden matematiikan logiikkaa". Carroll itse asiassa rinnastaa halveksimansa matematiikan lapsen taikauskoiseen satumaailmaan, josta sitten kasvetaan ulos ja josta järkevä ihminen, kuten Liisakin, lopulta vapautuu. (Joskin häntä motivoi satukontekstin valinnassa varmasti myös muut asiat, herralla oli ns. pedofiilisiä taipumuksia.) Lukuja käsitellään nykyään melko standardinomaisesti, mutta tietyllä tavalla kysymys oli siitä että "kaikki aksioomajärjestelmät ovat tasa-arvoisia ja toiset tasa-arvoisempia kuin toiset".
Äärettömyyskina on tietysti siitä erikoinen, että se tuppaa saamaan teologisia seuraamuksia. Äärettömästä puhuttaessa alkaa helposti myös maailmankuvien mukaantuominen. "Tieteen kuvalehtikin" viittaa Jumalakysymykseen Zeilbergin kohdalla, vaikka ääretön on matemaattinen konstruktio, toisin kuin Jumala, joka on kenties jonkinlainen kulttuurinen konstuktio, mutta ei matemaattinen. ; Toki ajatus "ateistien matematiikasta" ja "kristittyjen matematiikasta" tuntuu ajatuksena ylen absurdilta. Ja jossain määrin se onkin juuri näin. Matematiikka on vain matematiikkaa ja erilaisten kontekstien priorisoinnissa on kysymys eimatemaattisesta relevanssikysymyksestä. Jostain, joka liittyy enemmän sellaisiin asioihin kuin "kiinnostavuus" ja "relevanssi" jotka sitten ovat maailmankuvallisia. ; Tavallaan matematiikka onkin äärettömän erikoista koska se ei oikein vastaa ihmisten intuitioita. Kaikki hämmennys voisi tiivistyä mietelauseeseen ; Matematiikka on eksaktia, mutta se ei silti ole tiettyä.
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti